Ableitungsrechner
Polynome ableiten mit Rechenweg, dazu Steigung, Tangente und die Hoch-, Tief- und Wendepunkte.
Wie lautet die Ableitung meiner Funktion?
Funktionsterm und optional eine Stelle für die Steigung.
Beispiel: f(x) = (x - 1)(x + 3): f′(x) = 2x + 2, Steigung bei x = 1 ist 4
So funktioniert der Ableitungsrechner
Der Ableitungsrechner leitet Polynome ab, bis zur dritten Ableitung, und zeigt jeden Schritt der Potenzregel: aus 3x³ wird 9x², aus -2x² wird -4x, aus 5x wird 5, die Konstante fällt weg. Optional rechnet er die Steigung an einer Stelle und die Tangentengleichung dort, und aus den Ableitungen bestimmt er die Extrempunkte mit Unterscheidung in Hoch-, Tief- und Sattelpunkt sowie die Wendepunkte, also das Gerüst jeder Kurvendiskussion.
Merksatz: Exponent nach vorn, Exponent um eins runter. Die Eselsbrücke für die Punkte: Erste Ableitung null heißt Extremum, zweite Ableitung null heißt Wendepunkt, und das Vorzeichen der zweiten Ableitung sagt, ob es ein Berg (negativ) oder ein Tal (positiv) ist. Wer ableiten muss, braucht für Polynome nur diese Regel und die Summenregel, gliedweise ableiten.
Drei Beispiele:
- f(x) = 3x³ - 2x² + 5x - 7: f'(x) = 9x² - 4x + 5, f''(x) = 18x - 4. Bei x = 2 ist die Steigung 33, die Tangente lautet y = 33x - 47. Keine Extrempunkte, ein Wendepunkt bei (0,2222 | -5,9547).
- f(x) = (x - 1)(x + 3): Ausmultipliziert x² + 2x - 3, Ableitung 2x + 2, Steigung bei x = 1 ist 4, Tangente y = 4x - 4, Tiefpunkt bei (-1 | -4).
- f(x) = x³ - 3x: f'(x) = 3x² - 3, Hochpunkt (-1 | 2), Tiefpunkt (1 | -2), Wendepunkt im Ursprung.
Die Regeln: Potenzregel (a·xⁿ)' = n·a·xⁿ⁻¹, Summenregel: gliedweise ableiten, Konstante: Ableitung 0, Tangente: y = f'(x₀)·x + f(x₀) - f'(x₀)·x₀. Extrempunkte über f' = 0 und das Vorzeichen von f'', Wendepunkte über f'' = 0 und f''' ungleich 0. Die Nullstellen der Funktion selbst liefert der Nullstellen-Rechner, den Weg zurück zur Funktion der Stammfunktion-Rechner.
Wissenswertes zum Thema
Was die Ableitung bedeutet
Die Ableitung ist die Steigung der Funktion an jeder Stelle, also die Steigung der Tangente, die den Graphen dort gerade berührt. Für eine Gerade ist sie überall gleich, für eine Parabel ändert sie sich von Stelle zu Stelle, und die Ableitung ist selbst wieder eine Funktion, die zu jedem x diese Steigung angibt; f'(2) = 33 heißt, dass der Graph bei x = 2 so steil ist wie eine Gerade mit Steigung 33, also 33 Einheiten hoch je Einheit nach rechts. Formal ist sie der Grenzwert des Differenzenquotienten, der Steigung einer Sekante zwischen zwei Punkten, wenn die Punkte zusammenrücken, und daraus folgt die Potenzregel für xⁿ, die der Rechner anwendet. Physikalisch ist die Ableitung des Ortes nach der Zeit die Geschwindigkeit, die Ableitung der Geschwindigkeit die Beschleunigung, in der Wirtschaft die Ableitung der Kostenfunktion die Grenzkosten, also was die nächste Einheit kostet. Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung: positiv heißt Linkskurve, der Graph ist nach oben offen, negativ Rechtskurve, und an einem Wendepunkt wechselt sie das Vorzeichen. Die Tangentengleichung, die der Rechner ausgibt, ist die beste lineare Näherung der Funktion nahe der Stelle, das Prinzip hinter jeder Linearisierung.
Kurvendiskussion: Extrem- und Wendepunkte
Ein Extrempunkt liegt dort, wo die Steigung null ist, also f'(x) = 0, aber nicht jede Nullstelle der Ableitung ist ein Extremum: Bei x³ hat f'(x) = 3x² die Nullstelle 0, und trotzdem gibt es dort keinen Hoch- oder Tiefpunkt, sondern einen Sattelpunkt. Die Entscheidung trifft die zweite Ableitung: f''(x) kleiner null heißt Hochpunkt, größer null Tiefpunkt, gleich null erfordert weitere Prüfung, meist über den Vorzeichenwechsel von f'. Der Rechner bestimmt die Nullstellen von f', setzt sie in f'' ein und ordnet zu, und er zeigt die Punkte mit beiden Koordinaten, weil in der Klausur der y-Wert gefragt ist, nicht nur die Stelle. Wendepunkte liegen bei f''(x) = 0 mit f'''(x) ungleich null, dort wechselt die Krümmung; ein Wendepunkt mit f'(x) = 0 ist der Sattelpunkt. Bei Polynomen vom Grad n gibt es höchstens n - 1 Extrempunkte und n - 2 Wendepunkte, eine Parabel also höchstens einen Extrempunkt und keinen Wendepunkt, eine kubische Funktion zwei und einen. Was der Rechner nicht abdeckt, sind Monotoniebereiche und Symmetrie, die man aus den Extrempunkten ableitet, und die Nullstellen, die der Nullstellen-Rechner liefert.
Die Regeln, die der Rechner nicht braucht: Produkt, Quotient, Kette
Für Polynome reichen Potenz- und Summenregel, weil der Rechner Produkte wie (x - 1)(x + 3) erst ausmultipliziert. Sobald aber Sinus, Exponentialfunktion, Brüche oder Wurzeln ins Spiel kommen, braucht man mehr: die Produktregel (u·v)' = u'v + uv', die Quotientenregel (u/v)' = (u'v - uv')/v², und vor allem die Kettenregel, äußere Ableitung mal innere Ableitung, mit der sin(2x) zu 2cos(2x) und e^(3x) zu 3e^(3x) wird. Die Ableitung von e^x ist e^x selbst, die von ln(x) ist 1/x, die von sin ist cos und die von cos ist -sin, und Wurzeln schreibt man als Potenz mit Bruch, die Wurzel aus x ist x^(1/2) mit Ableitung 1/(2 Wurzel x). Solche Funktionen kann der Rechner nicht ableiten, er meldet dann einen Fehler statt eines falschen Ergebnisses. Typische Fehler beim Ableiten von Hand: die Konstante nicht auf null setzen, den Exponenten nach dem Herunterziehen nicht vermindern, bei negativen Vorzeichen das Minus verlieren, und bei Produkten einfach beide Faktoren ableiten, was mit der Produktregel nichts zu tun hat. Der Rechenweg des Rechners zeigt die Potenzregel Glied für Glied und eignet sich zum Nachrechnen eigener Lösungen. Für Grenzwerte, bei denen der Graph ins Unendliche läuft, gibt es den Grenzwert-Rechner.
Ein Stück Geschichte: Newton, Leibniz und der Strich
Die Differentialrechnung erfanden Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz unabhängig voneinander, Newton ab 1666 als "Fluxionen" für die Physik, Leibniz ab 1675 in Paris mit der Schreibweise dy/dx, die wir bis heute nutzen, und der Prioritätsstreit zwischen beiden vergiftete die Mathematik für ein Jahrhundert; die Royal Society entschied 1712 für Newton, der den Bericht selbst geschrieben hatte. Der Strich für die Ableitung, f'(x), stammt von Joseph-Louis Lagrange um 1770, die Potenzregel kannte man schon aus Fermats Arbeiten über Tangenten von 1636. Die saubere Definition über Grenzwerte lieferten erst Cauchy 1821 und Weierstraß um 1860, davor rechnete man mit "unendlich kleinen" Größen, die Bischof Berkeley 1734 als "Geister verstorbener Größen" verspottete. In die deutsche Schule kam die Differentialrechnung mit den Meraner Reformvorschlägen von Felix Klein 1905, die den Funktionsbegriff ins Zentrum stellten, und die Kurvendiskussion wurde zum Herzstück der Oberstufe, das sie trotz aller Reformen bis heute geblieben ist. Der Rechner rechnet nach Lagrange und Leibniz, mit Strich und Potenzregel.
Praktische Tipps
Tippen Sie Produkte und Potenzen von Klammern direkt ein, (x - 1)(x + 3) oder (x + 2)^3, der Rechner multipliziert aus und zeigt den ausgeschriebenen Term, den Sie in der Klausur ebenfalls brauchen. Tragen Sie die Stelle für die Steigung ein, wenn die Aufgabe nach der Tangente fragt, die Gleichung steht dann fertig da. Prüfen Sie Extrempunkte an der zweiten Ableitung, nicht am Gefühl, und bedenken Sie Sattelpunkte. Schreiben Sie bei Wendepunkten dazu, dass f''' ungleich null ist, das will die Korrektur sehen. Nutzen Sie den Rechenweg zum Vergleich mit Ihrer Handrechnung, Glied für Glied, so findet man das verlorene Minus. Und üben Sie mit eigenen Termen rückwärts: Zuerst selbst ableiten, dann prüfen. Für die Flächen unter der Kurve und das Integral gibt es den Stammfunktion-Rechner.
Häufige Fragen
Wie leitet man ein Polynom ab?
Mit der Potenzregel Glied für Glied: Exponent nach vorn multiplizieren, Exponent um eins verringern, Konstanten fallen weg. 3x³ - 2x² + 5x - 7 wird zu 9x² - 4x + 5, die zweite Ableitung ist 18x - 4, die dritte 18.
Was ist die Ableitung von (x - 1)(x + 3)?
Ausmultipliziert ist die Funktion x² + 2x - 3, die Ableitung also 2x + 2. An der Stelle x = 1 beträgt die Steigung 4, die Tangente lautet y = 4x - 4. Der Tiefpunkt liegt bei (-1 | -4).
Wie berechnet man die Tangente an einer Stelle?
Steigung m = f'(x₀), dann y = m·x + f(x₀) - m·x₀. Bei f(x) = 3x³ - 2x² + 5x - 7 und x₀ = 2 ist m = 33 und f(2) = 19, also y = 33x - 47.
Wie findet man Hoch- und Tiefpunkte?
Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen und in die zweite einsetzen: f'' kleiner null ist ein Hochpunkt, größer null ein Tiefpunkt, gleich null ein möglicher Sattelpunkt. Bei x³ - 3x liegen Hochpunkt (-1 | 2) und Tiefpunkt (1 | -2).
Wie findet man Wendepunkte?
Nullstellen der zweiten Ableitung, bei denen die dritte Ableitung nicht null ist. Bei 3x³ - 2x² + 5x - 7 ist f''(x) = 18x - 4, also x = 0,2222, Wendepunkt (0,2222 | -5,9547). Ein Wendepunkt mit Steigung null ist ein Sattelpunkt.
Was ist der Unterschied zwischen f' und f''?
f' ist die Steigung, f'' die Krümmung, also die Änderung der Steigung. Positive f'' heißt Linkskurve (nach oben offen), negative Rechtskurve. Physikalisch: Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung.
Kann der Rechner Sinus, e-Funktion oder Brüche ableiten?
Nein, nur Polynome, auch als Produkt oder Potenz von Klammern. Für sin, cos, e^x, ln, Wurzeln und Brüche braucht man Ketten-, Produkt- und Quotientenregel von Hand.
Wie viele Extrempunkte kann ein Polynom haben?
Höchstens Grad minus 1 und höchstens Grad minus 2 Wendepunkte. Eine Parabel hat einen Extrempunkt und keinen Wendepunkt, eine Funktion dritten Grades bis zu zwei Extrempunkte und genau einen Wendepunkt, wie x³ - 3x.