Normalverteilung-Rechner
Erwartungswert, Standardabweichung und Grenze eintragen, der Rechner liefert z-Wert und Wahrscheinlichkeit. Die Gauß-Glocke ohne Tabellenblättern.
Normalverteilung berechnen
Der Rechner berechnet die Verteilungsfunktion numerisch und ersetzt die z-Tabelle.
Beispiel: IQ 100, σ 15, P(X ≤ 115) = 84,13 %
So funktioniert der Normalverteilung-Rechner
Der Normalverteilung-Rechner beantwortet die vier Standardfragen zur Gaußschen Glockenkurve: Wie wahrscheinlich ist ein Wert höchstens a, mindestens a oder zwischen a und b, und unter welchem Wert liegen p Prozent aller Fälle? Sie tragen den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ ein, wählen die Fragestellung und bekommen den z-Wert, die Wahrscheinlichkeit in Prozent, die Gegenwahrscheinlichkeit, die Chance als "1 zu" und die Grenzen der Sigma-Regeln für Ihre Verteilung. Bei der Quantil-Frage zeigt der Rechner zusätzlich Median, Quartile und die Schwellen für 90, 95 und 99 Prozent. Die Verteilungsfunktion wird numerisch berechnet, Sie brauchen keine z-Tabelle mehr und müssen nicht zwischen zwei Tabellenzeilen interpolieren.
Merksatz: Erst standardisieren, dann nachschlagen. Der z-Wert sagt, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt, und nur dafür gilt die eine Tabelle, die für alle Normalverteilungen reicht. Eselsbrücke für die Sigma-Regeln: 68, 95, 99,7. Eine Standardabweichung fasst gut zwei Drittel, zwei fassen 95 Prozent, drei fast alles.
Drei Beispiele:
- IQ-Test, μ = 100, σ = 15, Wahrscheinlichkeit für höchstens 115: z = 1,000, 84,13 % aller Menschen liegen bei oder unter 115, 15,87 % darüber. Für mindestens 130 (z = 2) bleiben 2,28 %, also einer von 44.
- Körpergröße, μ = 170 cm, σ = 7 cm, zwischen 160 und 180 cm: z = -1,429 und z = 1,429, 84,69 % liegen dazwischen, je 7,66 % darunter und darüber.
- Quantil: Unter welchem IQ liegen 90 %? z = 1,2816, also 119,22. Für 97,5 % sind es 129,40 (z = 1,96), die bekannte Grenze aus dem 95-%-Konfidenzintervall.
Formeln: z = (x - μ) / σ, P(X ≤ x) = Φ(z), P(X ≥ x) = 1 - Φ(z), P(a ≤ X ≤ b) = Φ(z_b) - Φ(z_a) und für das Quantil x = μ + z_p × σ. Die Dichte lautet φ(z) = e^(-z²/2) / √(2π). Für die Streuung aus eigenen Daten gibt es den Standardabweichung-Rechner, für Ja-Nein-Experimente mit festem n den Binomialverteilung-Rechner.
Wissenswertes zum Thema
Warum die Normalverteilung überall auftaucht
Die Normalverteilung ist die wichtigste Verteilung der Statistik, weil sie immer dann entsteht, wenn viele kleine, unabhängige Einflüsse zusammenkommen. Das ist der Inhalt des zentralen Grenzwertsatzes: Summen und Mittelwerte vieler Zufallsgrößen nähern sich der Glockenkurve, egal wie die einzelnen Einflüsse verteilt sind. Deshalb passt sie auf Körpergrößen, Messfehler, Füllmengen, Prüfungsergebnisse, Blutdruckwerte und auf den Mittelwert jeder Stichprobe, sobald diese groß genug ist. Zwei Zahlen beschreiben die Kurve vollständig: der Erwartungswert μ legt die Mitte fest, die Standardabweichung σ die Breite. Die Kurve ist symmetrisch, Mittelwert, Median und Modus fallen zusammen, und die Wendepunkte liegen genau bei μ - σ und μ + σ. Was die Normalverteilung nicht kann: Sie passt nicht auf schiefe Größen wie Einkommen, Wartezeiten oder Schadenshöhen, und sie passt nicht auf Zählgrößen mit kleinen Zahlen. Dort helfen Lognormal-, Exponential- oder Poisson-Verteilung weiter.
z-Wert und Standardnormalverteilung
Der Trick hinter jeder z-Tabelle: Jede Normalverteilung lässt sich durch Verschieben und Strecken in die Standardnormalverteilung mit μ = 0 und σ = 1 überführen. Der z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt. z = 1 heißt eine Standardabweichung darüber, z = -2 zwei darunter. Danach reicht eine einzige Tabelle oder eine einzige Funktion, die Verteilungsfunktion Φ(z). Die wichtigsten Werte lohnt es sich zu merken: Φ(1) = 84,13 %, Φ(1,645) = 95 %, Φ(1,96) = 97,5 %, Φ(2) = 97,72 %, Φ(2,576) = 99,5 %, Φ(3) = 99,87 %. Wer rückwärts rechnet, sucht zu einer Wahrscheinlichkeit den z-Wert, das sogenannte Quantil. Das 97,5-%-Quantil 1,96 ist der Grund, warum in fast jedem Statistikbericht "plus minus 1,96 Standardfehler" steht. Der Rechner nutzt keine Tabelle, sondern eine numerische Näherung der Fehlerfunktion mit einem Fehler unter einem Zehnmillionstel, und für das Quantil ein Newton-Verfahren auf dieser Funktion.
Die Sigma-Regeln im Alltag
Die 68-95-99,7-Regel ist die handlichste Form der Normalverteilung. Innerhalb von einer Standardabweichung um den Mittelwert liegen 68,27 % aller Werte, innerhalb von zwei 95,45 %, innerhalb von drei 99,73 %. Für den IQ mit μ = 100 und σ = 15 heißt das: Zwei Drittel aller Menschen liegen zwischen 85 und 115, 95 % zwischen 70 und 130, und außerhalb von 55 bis 145 findet sich nur noch einer von 370. In der Qualitätssicherung ist "Six Sigma" daraus entstanden: Liegt die Toleranzgrenze sechs Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt, produziert ein stabiler Prozess rechnerisch nur rund zwei Fehler pro Milliarde Teile; in der Praxis rechnet man wegen Prozessverschiebungen mit 3,4 Fehlern pro Million. Auch Geburtsgewichte folgen grob der Glocke: Bei μ = 3.400 g und σ = 500 g liegt ein Gewicht unter 2.500 g bei z = -1,8 und damit bei 3,59 %, einer von 28 Neugeborenen. Wer solche Fragen oft hat, kann im Rechner einfach μ und σ stehen lassen und nur die Grenze austauschen.
Ein Stück Geschichte
Die Glockenkurve hat mehrere Väter. Abraham de Moivre fand sie 1733 als Näherung für die Binomialverteilung, als er die Wahrscheinlichkeiten beim Münzwurf für große Anzahlen berechnen wollte. Pierre-Simon Laplace erweiterte den Ansatz um 1810 zum zentralen Grenzwertsatz. Carl Friedrich Gauß nutzte die Kurve 1809 für seine Theorie der Messfehler und der Methode der kleinsten Quadrate, mit der er unter anderem die Bahn des Zwergplaneten Ceres berechnete; seither trägt sie seinen Namen, und auf dem letzten Zehn-Mark-Schein war sie neben seinem Porträt abgebildet. Den Begriff "Normalverteilung" prägten Ende des 19. Jahrhunderts Francis Galton, Karl Pearson und andere, die Körpermaße, Erbsen und Schulnoten vermaßen und überall dieselbe Form fanden. Galton baute dafür das "Galtonbrett", bei dem Kugeln über versetzte Nägel fallen und sich unten in Glockenform stapeln. Die z-Tabellen, die bis heute in Schulbüchern stehen, wurden in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts von Hand berechnet; ein Rechner wie dieser ersetzt sie, ohne die Mathematik zu verändern.
Praktische Tipps
Prüfen Sie zuerst, ob Ihre Größe überhaupt normalverteilt sein kann: Sie sollte symmetrisch um einen Mittelwert streuen und keine harte Grenze bei null haben. Verwechseln Sie nicht Standardabweichung und Varianz, die Varianz ist das Quadrat; wer "Varianz 225" liest, trägt σ = 15 ein. Für Fragen nach "mindestens" rechnet der Rechner die Gegenwahrscheinlichkeit, deshalb liefern "höchstens 115" und "mindestens 115" zusammen 100 %. Bei Stichprobenmittelwerten gehört nicht σ in das Feld, sondern der Standardfehler σ/√n. Für stetige Größen ist P(X = a) immer null, deshalb spielt es keine Rolle, ob Sie "kleiner" oder "kleiner gleich" meinen. Und wenn Sie eine diskrete Größe wie "Anzahl Treffer" nähern, hilft die Stetigkeitskorrektur: für "höchstens 12" rechnen Sie mit 12,5. Wer zur Normalverteilung die passende Fehlerspanne für einen Mittelwert sucht, findet sie im Konfidenzintervall-Rechner, und wer nur Anteile umrechnen will, im Prozentrechner.
Häufige Fragen
Was ist der z-Wert?
Der z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt: z = (x - μ) / σ. Positiv heißt über dem Mittelwert, negativ darunter. Mit dem z-Wert lässt sich jede Normalverteilung auf die Standardnormalverteilung zurückführen, für die eine einzige Tabelle oder Funktion reicht.
Wie lese ich eine z-Tabelle?
Die Tabelle enthält Φ(z), also die Wahrscheinlichkeit, dass ein standardnormalverteilter Wert höchstens z ist. Zeile und Spalte ergeben zusammen den z-Wert, etwa Zeile 1,9 und Spalte 0,06 für z = 1,96 mit Φ = 0,975. Für negative z gilt Φ(-z) = 1 - Φ(z). Der Rechner macht genau das, nur ohne Blättern und ohne Rundungsfehler.
Was bedeuten die Sigma-Regeln?
Innerhalb von einer Standardabweichung um den Mittelwert liegen 68,27 % aller Werte, innerhalb von zwei 95,45 %, innerhalb von drei 99,73 %. Der Rechner zeigt die drei Intervalle für Ihre Verteilung in der Ergebnistabelle an.
Wie berechne ich P(X ≥ a)?
Als Gegenwahrscheinlichkeit: P(X ≥ a) = 1 - Φ(z) mit z = (a - μ) / σ. Für IQ 130 bei μ = 100 und σ = 15 ist z = 2 und P = 1 - 0,9772 = 2,28 %. Im Rechner wählen Sie dafür die Option "mindestens a".
Was ist ein Quantil?
Das p-Quantil ist der Wert, unter dem p Prozent aller Werte liegen. Das 50-%-Quantil ist der Median, bei der Normalverteilung gleich μ. Das 90-%-Quantil des IQ liegt bei 119,22, das 97,5-%-Quantil bei 129,40. Im Rechner wählen Sie "Wert, unter dem a Prozent liegen" und tragen bei a den Prozentwert ein.
Wann ist eine Größe normalverteilt?
Wenn viele kleine, unabhängige Einflüsse zusammenwirken, zum Beispiel bei Körpergröße, Messfehlern oder Füllmengen. Nicht normalverteilt sind meist Einkommen, Wartezeiten, Schadenshöhen und kleine Zählwerte. Ein Histogramm oder ein Q-Q-Plot der Daten zeigt, ob die Glockenform passt.
Was ist der Unterschied zwischen Standardabweichung und Varianz?
Die Varianz ist der mittlere quadrierte Abstand vom Mittelwert, die Standardabweichung ihre Wurzel und damit in derselben Einheit wie die Daten. In den Rechner gehört die Standardabweichung σ. Steht in der Aufgabe σ² = 225, tragen Sie 15 ein.
Warum ist P(X = a) bei der Normalverteilung null?
Weil die Normalverteilung stetig ist: Ein einzelner exakter Wert hat keine Fläche unter der Kurve. Wahrscheinlichkeiten gibt es nur für Bereiche. Deshalb sind "kleiner als 115" und "höchstens 115" dasselbe, und für diskrete Größen rechnet man mit Stetigkeitskorrektur, also 115,5 statt 115.