Wahrscheinlichkeitsrechner
Günstige und mögliche Ergebnisse eintragen, Aufgabe wählen, fertig. Vom Würfel bis zur Frage, wie oft man es versuchen muss.
Wahrscheinlichkeit berechnen
Für "und" müssen die Ereignisse unabhängig sein, für "oder" unvereinbar.
Beispiel: Mindestens eine Sechs in 10 Würfen: 83,85 %
So funktioniert der Wahrscheinlichkeitsrechner
Der Wahrscheinlichkeitsrechner deckt die Grundaufgaben der Stochastik ab, die in der Schule, im Studium und im Alltag immer wieder auftauchen. Sie tragen die Zahl der günstigen und der möglichen Ergebnisse ein und wählen die Aufgabe: die Laplace-Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses, die Chance auf mindestens einen Treffer in n Versuchen, die Chance auf Erfolg bei jedem einzelnen Versuch, die Und-Regel für zwei unabhängige Ereignisse, die Oder-Regel für zwei Ereignisse, die sich ausschließen, und das Gegenereignis. Der Rechner zeigt die Wahrscheinlichkeit in Prozent, als Chance "1 zu" und in der Ergebnistabelle die Nebenrechnungen: kein Treffer, genau ein Treffer, erwartete Trefferzahl und die Versuchszahl, ab der 50, 90 oder 99 Prozent erreicht sind.
Merksatz: Günstig durch möglich, das ist Laplace. Für alles mit "mindestens einmal" geht man über das Gegenteil: 1 minus die Wahrscheinlichkeit, dass es nie klappt. Eselsbrücke: Und heißt mal, Oder heißt plus, aber nur bei unabhängigen beziehungsweise unvereinbaren Ereignissen.
Drei Beispiele:
- Eine Sechs mit einem Würfel: 1 von 6, also 16,67 % oder 1 zu 6. Eine gerade Zahl: 3 von 6, 50 %.
- Mindestens eine Sechs in 10 Würfen: Kein Treffer hat (5/6)^10 = 16,15 %, also gelingt es mit 83,85 %. Für 50 % reichen 3,8 Würfe, für 90 % braucht es 12,6 und für 99 % 25,3 Würfe.
- Sechs und Kopf zugleich: Würfel und Münze sind unabhängig, 16,67 % × 50 % = 8,33 %. Mindestens eines von beiden tritt mit 58,33 % ein.
Formeln: P(A) = günstige / mögliche Ergebnisse, P(nicht A) = 1 - P(A), P(mindestens einmal) = 1 - (1 - p)^n, P(A und B) = P(A) × P(B) bei Unabhängigkeit, P(A oder B) = P(A) + P(B) bei unvereinbaren Ereignissen, allgemein P(A) + P(B) - P(A und B). Wie viele Kombinationen hinter "möglich" stecken, zählt der Kombinatorik-Rechner; für genau k Treffer in n Versuchen gibt es den Binomialverteilung-Rechner.
Wissenswertes zum Thema
Laplace und seine Grenzen
Die Laplace-Formel ist der Einstieg in jede Wahrscheinlichkeitsrechnung: Zahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch Zahl der möglichen Ergebnisse. Sie gilt nur, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, also beim fairen Würfel, bei der fairen Münze, beim gut gemischten Kartenspiel und bei der Lottotrommel. Dort ist die Welt einfach: Eine bestimmte Karte aus 32 hat 1/32 = 3,125 %, ein Herz aus 52 Karten 13/52 = 25 %. Schon ein gezinkter Würfel, ein Reißnagel oder das Wetter sprengen die Formel, weil die Ergebnisse nicht gleichwertig sind. Dann braucht man empirische Wahrscheinlichkeiten aus Häufigkeiten oder ein Modell. Ein zweiter Stolperstein ist das Zählen: Beim Wurf mit zwei Würfeln gibt es 36 gleich wahrscheinliche Paare, nicht 11 gleich wahrscheinliche Summen. Die Summe 7 kommt mit 6 von 36 Paaren und damit 16,67 %, die Summe 2 nur mit 1 von 36. Wer "möglich" richtig abzählt, hat die Aufgabe meist schon gelöst; der Rechner übernimmt dann den Rest.
Mindestens einmal: der Umweg über das Gegenteil
Die meistgestellte Alltagsfrage lautet nicht "wie wahrscheinlich ist ein Treffer", sondern "wie wahrscheinlich ist mindestens ein Treffer, wenn ich es n-mal versuche". Direkt zu rechnen wäre mühsam, weil man alle Fälle von einem bis n Treffern addieren müsste. Der Umweg über das Gegenereignis ist elegant: Die Wahrscheinlichkeit für keinen einzigen Treffer ist (1 - p)^n, also ist die für mindestens einen 1 - (1 - p)^n. Daraus folgen einige Zahlen, die der Intuition widersprechen. Bei vier Würfen eine Sechs zu schaffen, gelingt nur in 51,77 % der Fälle, nicht in 66,7 %, wie die Addition 4 × 1/6 nahelegt. Ein Ereignis mit 1 % Wahrscheinlichkeit tritt bei 100 Versuchen nur mit 63,4 % mindestens einmal ein, bei 1.000 Lottoreihen mit sechs Richtigen zu je 1 zu 13.983.816 bleibt die Chance bei 0,007 %. Umgekehrt lässt sich die nötige Versuchszahl berechnen: n = ln(1 - Ziel) / ln(1 - p). Für eine 90-%-Chance auf eine Sechs sind das 12,6 Würfe, der Rechner zeigt diese Schwellen für 50, 90 und 99 % mit an.
Und, Oder und das Problem der Abhängigkeit
Die Multiplikationsregel P(A und B) = P(A) × P(B) setzt voraus, dass A und B unabhängig sind: Das Eintreten des einen ändert nichts an der Wahrscheinlichkeit des anderen. Würfel und Münze sind unabhängig, zwei Karten aus demselben Stapel ohne Zurücklegen nicht; die zweite Karte hängt von der ersten ab, und man muss mit bedingten Wahrscheinlichkeiten rechnen. Die Additionsregel P(A oder B) = P(A) + P(B) gilt nur für unvereinbare Ereignisse, die nicht gleichzeitig eintreten können, etwa Eins oder Sechs beim selben Wurf (33,33 %). Können beide zugleich eintreten, zählt die Summe die Schnittmenge doppelt, deshalb lautet die allgemeine Form P(A) + P(B) - P(A und B). "Sechs oder Kopf" ist also nicht 66,67 %, sondern 16,67 + 50 - 8,33 = 58,33 %. Der Rechner weist Sie darauf hin, wenn die Summe über 100 % läge, und zeigt bei der Und-Regel die Wahrscheinlichkeit für "mindestens eines" gleich mit.
Ein Stück Geschichte
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung begann 1654 mit einem Briefwechsel zwischen Blaise Pascal und Pierre de Fermat über Fragen des Glücksspielers Antoine Gombaud, Chevalier de Méré. Eine seiner Fragen passt genau in diesen Rechner: Lohnt sich die Wette, in vier Würfen mindestens eine Sechs zu werfen? Pascal rechnete 1 - (5/6)^4 = 51,8 % und bestätigte den Vorteil. Die Wette, in 24 Würfen mit zwei Würfeln mindestens eine Doppelsechs zu schaffen, verliert dagegen knapp mit 49,1 %, was de Méré am Spieltisch bereits schmerzhaft gemerkt hatte. Christiaan Huygens schrieb 1657 das erste Lehrbuch dazu, Jakob Bernoulli bewies um 1690 das Gesetz der großen Zahlen, und Pierre-Simon Laplace formulierte 1812 in seiner "Théorie analytique des probabilités" die Definition "günstige durch mögliche Fälle", die bis heute seinen Namen trägt. Den axiomatischen Unterbau lieferte Andrei Kolmogorow 1933. Dass die Addition von Einzelwahrscheinlichkeiten bei "mindestens einmal" in die Irre führt, war also schon vor 370 Jahren der Anlass, das Fach überhaupt zu erfinden.
Praktische Tipps
Zählen Sie die möglichen Ergebnisse so, dass alle gleich wahrscheinlich sind, bei zwei Würfeln also 36 Paare. Prüfen Sie vor der Und-Regel, ob die Ereignisse wirklich unabhängig sind; Ziehen ohne Zurücklegen ist es nie. Rechnen Sie "mindestens einmal" immer über das Gegenteil, nie durch Addieren. Erwartete Treffer und Wahrscheinlichkeit sind zwei verschiedene Dinge: Bei 100 Versuchen mit 1 % erwartet man einen Treffer, bekommt aber in 36,6 % der Fälle keinen. Misstrauen Sie Ihrem Bauchgefühl bei kleinen Wahrscheinlichkeiten und vielen Versuchen, dort liegt es fast immer daneben. Wenn Sie die Chancen auf konkrete Gewinnklassen wissen wollen, hilft der Lotto-Chancen-Rechner, und für Prozent- und Verhältnisrechnungen rund um die Ergebnisse der Prozentrechner.
Häufige Fragen
Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit nach Laplace?
Günstige Ergebnisse geteilt durch mögliche Ergebnisse, vorausgesetzt alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. Eine Sechs beim Würfel: 1/6 = 16,67 %. Eine gerade Zahl: 3/6 = 50 %. Eine bestimmte Karte aus 32: 1/32 = 3,125 %.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs bei vier Würfen?
1 - (5/6)^4 = 51,77 %. Die Addition 4 × 1/6 = 66,67 % ist falsch, weil sie Würfe mit mehreren Sechsen doppelt zählt. Bei 10 Würfen sind es 83,85 %, bei 25 Würfen rund 99 %.
Was ist der Unterschied zwischen "und" und "oder"?
"Und" verlangt, dass beide Ereignisse eintreten, bei Unabhängigkeit multipliziert man: 1/6 × 1/2 = 8,33 %. "Oder" verlangt mindestens eines, bei unvereinbaren Ereignissen addiert man: 1/6 + 1/6 = 33,33 %. Sind sie nicht unvereinbar, zieht man die Schnittmenge ab.
Was bedeutet unabhängig?
Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht verändert. Würfel und Münze sind unabhängig, zwei Karten ohne Zurücklegen nicht. Nur bei Unabhängigkeit darf man die Wahrscheinlichkeiten einfach multiplizieren.
Wie viele Versuche brauche ich für 90 % Erfolgschance?
n = ln(1 - 0,9) / ln(1 - p). Bei p = 1/6 sind das 12,6 Würfe, bei p = 1 % rund 230 Versuche. Der Rechner zeigt die Schwellen für 50, 90 und 99 % bei der Aufgabe "mindestens einmal" automatisch an.
Was ist das Gegenereignis?
Alles, was nicht zum Ereignis gehört. Seine Wahrscheinlichkeit ist 1 - P(A). Das Gegenereignis zu "mindestens eine Sechs" ist "keine Sechs", und genau darüber rechnet man solche Aufgaben am einfachsten.
Was heißt "1 zu 6" im Vergleich zu 16,67 %?
"1 zu 6" meint hier ein günstiges auf sechs mögliche Ergebnisse, also 1/6 = 16,67 %. Buchmacher-Quoten "1 zu 5" zählen dagegen günstig gegen ungünstig und meinen dasselbe. Der Rechner gibt die Chance immer als günstig zu möglich an.
Wie wahrscheinlich ist zehnmal hintereinander Kopf?
(1/2)^10 = 0,098 %, also etwa 1 zu 1.024. Mindestens einmal Kopf in zehn Würfen hat dagegen 99,9 %. Im Rechner wählen Sie "jedes Mal Erfolg" mit 1 von 2 und n = 10.