Fakultät-Rechner
Wie groß ist 10!, 52! oder 100!? Exakt mit allen Ziffern oder als Zehnerpotenz.
Wie groß ist n Fakultät?
Ganze Zahl eintragen.
Beispiel: 52! (Mischungen eines Kartenspiels): etwa 8,0658 · 10^67, 68 Stellen
So funktioniert der Fakultät-Rechner
Der Fakultät-Rechner rechnet n Fakultät, geschrieben n!, also das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis n: Sie tragen eine Zahl ein, und der Rechner zeigt das Ergebnis bis 20! als ganze Zahl, bis 300! zusätzlich mit allen Ziffern ausgeschrieben, darüber als Zehnerpotenz mit vier Stellen, und dazu die Stellenzahl, die wissenschaftliche Schreibweise, die Nachbarn (n - 1)! und (n + 1)! und die Zahl der Nullen am Ende. Das ist der Rechner für Permutationen, Lottoformel, Binomialkoeffizienten, Statistikaufgaben und die Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, zehn Bücher ins Regal zu stellen.
Merksatz: n! ist die Zahl der Reihenfolgen für n Dinge, und sie wächst schneller als jede Potenz. Die Eselsbrücke: 0! ist 1, nicht 0, weil es genau eine Art gibt, nichts anzuordnen, und weil nur so die Formeln für Kombinationen aufgehen.
Drei Beispiele:
- 10 Bücher im Regal: 10! = 3.628.800 Reihenfolgen, 7 Stellen, zwei Nullen am Ende.
- Ein Kartenspiel mit 52 Karten mischen: 52! = etwa 8,0658 · 10^67, eine Zahl mit 68 Stellen, mehr als Atome in unserer Galaxie.
- 100!: etwa 9,3326 · 10^157, 158 Stellen, 24 Nullen am Ende; der Rechner schreibt alle Ziffern aus.
Formeln: n! = 1 × 2 × 3 × … × n, 0! = 1, n! = n × (n - 1)!, Nullen am Ende = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …. Die Fakultät steckt in der Lottoformel 49 über 6, deren Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilungsrechner ausrechnet, und in jeder Potenzrechnung, mit der man ihre Größe vergleicht.
Wissenswertes zum Thema
Was die Fakultät zählt und warum sie so schnell wächst
Die Fakultät ist die Antwort auf die Frage "Wie viele Reihenfolgen gibt es?": Für das erste von n Dingen gibt es n Plätze, für das zweite n minus 1, für das dritte n minus 2, und das Produkt all dieser Wahlmöglichkeiten ist n!. Drei Personen auf drei Stühlen ergeben 3! = 6 Sitzordnungen, die man noch aufzählen kann, zehn Bücher im Regal 3.628.800 Reihenfolgen, und bei 52 Karten reicht die Zahl der Atome in der Milchstraße nicht, weshalb ein gut gemischtes Kartenspiel mit großer Sicherheit noch nie in dieser Reihenfolge existiert hat. Das Wachstum ist das Besondere: 2 hoch n verdoppelt sich mit jedem Schritt, n! multipliziert mit einem immer größeren Faktor, und ab n gleich 4 überholt die Fakultät jede Zweierpotenz, ab 25 jede Zehnerpotenz, 25! hat 26 Stellen. Der Rechner zeigt bis 20! exakt, weil 20! mit 2,4 Trillionen die letzte Fakultät ist, die in eine 64-Bit-Ganzzahl passt, bis 170! rechnet er mit Gleitkommazahlen, weil 171! mit 1,24 · 10^309 größer ist als die größte darstellbare Zahl, und bis 300! rechnet er die Ziffern einzeln aus, wie man es von Hand mit Übertrag täte, 615 Stellen bei 300!. Darüber nutzt er die Stirling-Formel und den Logarithmus und gibt Mantisse und Exponent an, 1.000! hat 2.568 Stellen, 10.000! hat 35.660. Die Nullen am Ende sind ein hübsches Nebenergebnis: Jede Null kommt von einem Faktor 10, also von einem Paar aus 2 und 5, und weil Zweien im Produkt häufiger sind als Fünfen, zählt man nur die Fünfen, bei 100! sind das 20 Vielfache von 5 plus 4 Vielfache von 25, also 24 Nullen. Wie Potenzen im Vergleich wachsen, zeigt der Potenzrechner.
Permutationen, Kombinationen und die Lottoformel
Die Fakultät ist der Baustein der Kombinatorik. Eine Permutation ist eine Anordnung aller n Dinge, n! Möglichkeiten; eine Variation wählt k aus n mit Reihenfolge, n! durch (n - k)!, bei der Zieleinlauf-Frage "Welche drei von zehn Läufern stehen in welcher Reihenfolge auf dem Podest?" 10! durch 7! gleich 720; und eine Kombination wählt k aus n ohne Reihenfolge, n! durch k! mal (n - k)!, der Binomialkoeffizient "n über k", beim Lotto 49 über 6 gleich 13.983.816, deshalb die Gewinnchance von 1 zu 14 Millionen. Von Hand rechnet man Binomialkoeffizienten nie über die vollen Fakultäten, 49! hat 63 Stellen, sondern kürzt: 49 mal 48 mal 47 mal 46 mal 45 mal 44 durch 720. Das Mischen eines Kartenspiels ist die Permutation von 52, das Setzen von acht Damen auf ein Schachbrett eine Auswahl aus 64 über 8, und die Zahl der Sitzordnungen am runden Tisch ist (n - 1)!, weil Drehungen gleich zählen. Weitere Orte der Fakultät: die Taylorreihe, in der e hoch x als Summe von x hoch n durch n! steht und die jedem Taschenrechner die Exponentialfunktion liefert, die Eulersche Zahl selbst als Summe aller 1 durch n!, die Normalverteilung und die Poisson-Verteilung, in der n! im Nenner steht, und die Gammafunktion, die die Fakultät auf Brüche fortsetzt, so dass "ein halb Fakultät" die Wurzel aus Pi halbe ist. Welche Trefferwahrscheinlichkeit ein Binomialkoeffizient liefert, rechnet der Binomialverteilungsrechner aus.
Rechnen von Hand und typische Fehler
Von Hand multipliziert man schrittweise und nutzt den Nachbarn: 10! ist 10 mal 9!, also 10 mal 362.880, und der Rechner zeigt (n - 1)! und (n + 1)! genau dafür; in Excel heißt die Funktion FAKULTÄT, in Python math.factorial, auf dem Schultaschenrechner die Taste x! oder n!. Der erste Fehler ist 0! gleich 0, es ist 1, und der Rechner begründet das mit der leeren Anordnung. Der zweite ist n! gleich n mal (n - 1), 5! ist 120 und nicht 20. Der dritte ist die Fakultät eines Bruchs oder einer negativen Zahl, dafür ist n! nicht definiert, die Gammafunktion springt ein, der Rechner verlangt ganze Zahlen von 0 bis 10.000. Der vierte ist das Kürzen: 10! durch 8! ist 90, nicht 10 durch 8 Fakultät, man streicht die gemeinsamen Faktoren. Der fünfte ist die Unterschätzung des Wachstums, wer in einer Schleife 20 Elemente permutieren lässt, wartet bei einer Milliarde Operationen je Sekunde 77 Jahre. Der sechste ist das doppelte Zählen bei Kombinationen, wenn die Reihenfolge nicht zählt, muss durch k! geteilt werden. Der siebte ist die Verwechslung des Ausrufezeichens mit Betonung in Aufgabenstellungen. Und der achte ist die Rechnung mit Gleitkommazahlen über 170, die als "Infinity" endet, der Rechner wechselt deshalb auf Ziffernrechnung. Wie Primfaktoren in n! stecken, jede Primzahl bis n kommt vor, zeigt der Primzahl-Rechner.
Ein Stück Geschichte: Vom Ausrufezeichen bis zur Stirling-Formel
Das Zählen von Anordnungen ist alt: Im indischen Sefer Jezirah und bei den Jaina-Mathematikern um 300 vor Christus wurden Permutationen von Buchstaben und Geschmacksrichtungen gezählt, und der jüdische Gelehrte Levi ben Gerson bewies 1321 in der Provence als Erster durch Induktion, dass n Dinge n! Anordnungen haben. Das Wort "Fakultät" kommt von Louis Arbogast, der 1800 "faculté" für Produkte dieser Art benutzte, und das Ausrufezeichen führte Christian Kramer 1808 in Straßburg ein, weil es sich leicht setzen ließ; andere Vorschläge wie ein Winkel unter der Zahl, der bis ins 20. Jahrhundert in britischen Schulbüchern stand, setzten sich nicht durch, und Augustus De Morgan beklagte 1842, das Ausrufezeichen gebe harmlosen Formeln "einen Ton der Überraschung". Die Näherung für große n stammt von Abraham de Moivre, der 1730 beim Studium von Münzwürfen die Form fand, und James Stirling, der im selben Jahr die Konstante Wurzel aus 2 Pi beisteuerte, weshalb die Formel seinen Namen trägt; sie macht die Rechnung von 10.000! überhaupt möglich. Leonhard Euler fand 1729 die Gammafunktion, die die Fakultät auf alle reellen Zahlen fortsetzt und im Brief an Goldbach ihren Anfang nahm. Und das Kartenbeispiel hat eine eigene Pointe: 52! ist so groß, dass man, wie es in einer beliebten Veranschaulichung heißt, am Äquator alle Milliarde Jahre einen Schritt gehen und nach einer Erdumrundung einen Tropfen aus dem Pazifik nehmen könnte, und der Ozean wäre leer, bevor 52! Sekunden vergangen sind. Der Rechner zeigt die 68 Stellen trotzdem in einem Satz.
Praktische Tipps
Merken Sie sich die kleinen Werte, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5.040, die in Prüfungen ständig vorkommen. Kürzen Sie Quotienten von Fakultäten, bevor Sie rechnen. Nutzen Sie die Stellenzahl und die Zehnerpotenz, wenn das exakte Ergebnis nicht gebraucht wird. Prüfen Sie bei Kombinatorik-Aufgaben zuerst, ob die Reihenfolge zählt. Und wenn ein Programm für große n "Infinity" oder einen Überlauf liefert, rechnen Sie mit Logarithmen oder Ganzzahlen beliebiger Länge. Wie man einen Bruch wie 10! durch 8! sauber kürzt, zeigt der Bruchrechner.
Häufige Fragen
Was ist die Fakultät einer Zahl?
Das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis n, geschrieben n!: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120, 10! = 3.628.800. Sie gibt an, auf wie viele Arten man n Dinge in eine Reihenfolge bringen kann. Der Rechner zeigt sie exakt bis 300! und darüber als Zehnerpotenz.
Warum ist 0! gleich 1?
Weil es genau eine Möglichkeit gibt, null Dinge anzuordnen, nämlich die leere Anordnung, und weil die Regel n! = n × (n - 1)! für n = 1 nur mit 0! = 1 aufgeht. Mit 0! = 0 würden die Formeln für Kombinationen wie "n über n" nicht funktionieren.
Wie groß ist 52 Fakultät?
Etwa 8,0658 · 10^67, eine Zahl mit 68 Stellen und 12 Nullen am Ende. So viele Reihenfolgen hat ein Kartenspiel mit 52 Karten, mehr als die geschätzte Zahl der Atome in der Milchstraße. Der Rechner schreibt alle 68 Ziffern aus.
Wie viele Stellen hat 100!?
158 Stellen, der Wert ist etwa 9,3326 · 10^157 mit 24 Nullen am Ende. Zum Vergleich: 20! hat 19 Stellen, 70! hat 101 Stellen, 1.000! hat 2.568 Stellen und 10.000! hat 35.660 Stellen.
Wie viele Nullen hat n! am Ende?
So viele, wie der Faktor 5 im Produkt vorkommt: n durch 5 plus n durch 25 plus n durch 125, jeweils abgerundet. Bei 100! sind das 20 + 4 = 24 Nullen, bei 10! zwei Nullen, bei 1.000! sind es 249. Zweien gibt es immer genug, deshalb zählen nur die Fünfen.
Wie rechnet man mit der Fakultät beim Lotto?
Die Zahl der Tippreihen ist "49 über 6" = 49! ÷ (6! × 43!) = 13.983.816. Man kürzt, statt die riesigen Fakultäten auszurechnen: 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 ÷ 720. Die Chance auf sechs Richtige ist also 1 zu rund 14 Millionen.
Was ist der Unterschied zwischen Permutation und Kombination?
Bei der Permutation zählt die Reihenfolge, n! Möglichkeiten für n Dinge. Bei der Kombination zählt sie nicht, man teilt durch k!, die Zahl der Anordnungen der gewählten k: Drei Läufer aus zehn auf dem Podest mit Reihenfolge sind 720 Möglichkeiten, ohne Reihenfolge 120.
Warum rechnet der Taschenrechner über 170! nicht mehr?
Weil 171! mit etwa 1,24 · 10^309 die größte Gleitkommazahl übersteigt, die Computer üblicherweise speichern, und dann "Infinity" oder ein Fehler erscheint. Der Rechner rechnet bis 300! die Ziffern einzeln mit Übertrag und darüber mit Logarithmen, bis 10.000! mit 35.660 Stellen.