Binomialverteilung-Rechner

So funktioniert der Binomialverteilung-Rechner

Der Binomialverteilung-Rechner beantwortet die Standardfrage der Stochastik: Bei n Versuchen mit Trefferwahrscheinlichkeit p, wie wahrscheinlich sind genau k Treffer? Er gibt P(X = k), dazu P(X ≤ k) für höchstens und P(X ≥ k) für mindestens k Treffer, den Erwartungswert n mal p, die Standardabweichung, den Binomialkoeffizienten und eine Verteilungstabelle für alle k. Die Wahrscheinlichkeit darf als Dezimalzahl, Bruch oder Prozent eingegeben werden, 0,5, 1/6 oder 3 %, und n geht bis 1.000.

Merksatz: Binomialverteilung heißt gleiche Versuche, zwei Ausgänge, feste Wahrscheinlichkeit, unabhängig voneinander, Würfeln, Münzwurf, Ausschuss in der Produktion, Trefferquote beim Elfmeter. Die Eselsbrücke für die Formel: n über k Wege, p hoch k für die Treffer, q hoch n minus k für die Nieten.

Drei Beispiele:

• 20 Würfe, p = 1/6, genau 4 Sechsen: 20,22 %; höchstens 4: 76,87 %, mindestens 4: 43,35 %, Erwartungswert 3,33, Standardabweichung 1,667, 4.845 Wege.
• 10 Münzwürfe, p = 0,5, genau 8 Mal Kopf: 4,39 %; mindestens 8: 5,47 %, Erwartungswert 5, Standardabweichung 1,581, 45 Wege.
• 100 Teile mit 3 % Ausschuss, kein einziges defekt: 4,76 %; im Schnitt sind 3 defekte Teile zu erwarten, mindestens eines zu 95,24 %.

Formeln: P(X = k) = (n über k) × p^k × (1 - p)^(n - k), Erwartungswert μ = n × p, Standardabweichung σ = √(n × p × (1 - p)), P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k - 1). Die Wahrscheinlichkeit p aus Anteilen rechnet der Prozentrechner, und wer die Verteilung ausprobieren will, simuliert Würfe mit dem Zufallszahl-Generator.

Wissenswertes zum Thema

Bernoulli-Kette: Wann die Binomialverteilung gilt

Vier Bedingungen müssen erfüllt sein, und in jeder Klausur ist die erste Aufgabe, sie zu prüfen: Es gibt genau zwei Ausgänge je Versuch, Treffer oder Niete, Sechs oder keine Sechs, defekt oder in Ordnung; die Trefferwahrscheinlichkeit p ist bei jedem Versuch gleich; die Versuche sind unabhängig, das Ergebnis des einen ändert nichts am nächsten; und die Anzahl n steht vorher fest. Das ist die Bernoulli-Kette, und die Zufallsgröße X, die Anzahl der Treffer, ist dann binomialverteilt mit den Parametern n und p, geschrieben B(n; p). Würfeln, Münzwurf, Roulette, Multiple-Choice-Raten, Ausschuss in der Serienfertigung, Impfwirksamkeit, Trefferquote beim Elfmeter, Umfragen mit Zurücklegen, das passt alles; nicht passt das Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Urne, Lotto, Skatkarten, dort gilt die hypergeometrische Verteilung, die bei großen Grundgesamtheiten aber fast dasselbe ergibt, und nicht passt, was sich verändert, die Trefferquote eines Spielers, der müde wird. Die Formel zählt die Wege: Bei 20 Würfen gibt es 4.845 Möglichkeiten, die vier Sechsen auf die Würfe zu verteilen, jede hat die Wahrscheinlichkeit (1/6)⁴ × (5/6)¹⁶, und das Produkt ist 20,22 Prozent. Der Erwartungswert ist n mal p, 3,33 Sechsen bei 20 Würfen, und die Standardabweichung die Wurzel aus n p q, 1,667, so dass die meisten Ergebnisse zwischen 2 und 5 liegen. Wie Varianz und Standardabweichung allgemein aus Daten entstehen, zeigt der Standardabweichungsrechner.

Genau, höchstens, mindestens: Die drei Fragen und die Tabelle

P(X = k) ist die einzelne Wahrscheinlichkeit, P(X ≤ k) die Summe aller Wahrscheinlichkeiten von 0 bis k, die kumulierte Verteilung, in der Schule aus der Tabelle abgelesen, P(X ≥ k) ist 1 minus P(X ≤ k - 1), und der Rechner gibt alle drei aus. Die Fallen stecken in der Sprache: "mindestens 4" ist P(X ≥ 4), "mehr als 4" ist P(X ≥ 5), "höchstens 4" ist P(X ≤ 4), "weniger als 4" ist P(X ≤ 3), "zwischen 3 und 6" ist P(X ≤ 6) - P(X ≤ 2), und das Gegenereignis "mindestens einer" ist 1 - P(X = 0), bei 100 Teilen mit 3 Prozent Ausschuss 1 - 4,76 = 95,24 Prozent. Die Verteilungstabelle des Rechners zeigt für jedes k die Einzel- und die kumulierte Wahrscheinlichkeit, so weit sie über 0,05 Prozent liegt, und das ist das Werkzeug für die typischen Aufgaben: Ab welchem k übersteigt die kumulierte Wahrscheinlichkeit 95 Prozent, wie viele Ersatzteile braucht man, damit mit 99 Prozent Sicherheit genug da sind, wie viele Plätze darf eine Airline überbuchen. Für große n nähert die Normalverteilung die Binomialverteilung an, Faustregel n p q größer 9, und die Sigma-Regeln geben die Intervalle: 68 Prozent innerhalb einer Standardabweichung um den Erwartungswert, 95 innerhalb von zwei, und das ist die Grundlage für Hypothesentests, bei denen eine Behauptung über p an einem Ergebnis geprüft wird. Die Streuung, die bei der Normalverteilung als Varianz auftaucht, rechnet der Varianz-Rechner aus Daten.

Rechnen von Hand und die typischen Fehler

Von Hand rechnet man den Binomialkoeffizienten n über k als n! / (k! (n - k)!), bei 10 über 8 ist das 45, dann p hoch k und q hoch n minus k, bei der Münze 0,5 hoch 10, 1/1024, mal 45 gleich 4,39 Prozent; der Taschenrechner hat die Funktion binompdf und binomcdf, in Excel heißt sie BINOM.VERT mit dem Argument FALSCH für genau und WAHR für höchstens. Der erste Fehler ist die Verwechslung von Treffer und Niete: Wer statt 4 Sechsen 16 Nicht-Sechsen rechnet, muss auch p zu 5/6 tauschen, sonst kommt Unsinn heraus. Der zweite ist "mehr als" gleich "mindestens" gesetzt. Der dritte ist das Vergessen des Binomialkoeffizienten, (1/6)⁴ × (5/6)¹⁶ allein ist die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Reihenfolge, 0,004 Prozent, und erst mal 4.845 wird daraus 20,22. Der vierte ist der Bruch als Dezimalzahl, 1/6 ist 0,1667, nicht 0,16, und der Rechner nimmt den Bruch direkt. Der fünfte ist die Annahme, der Erwartungswert sei der wahrscheinlichste Wert; bei 20 Würfen ist er 3,33, der wahrscheinlichste Wert ist 3 mit 23,79 Prozent, und bei n p ganzzahlig stimmen beide überein. Der sechste ist das Weglassen der Prüfung auf Bernoulli-Kette, in Klausuren einen Punkt wert. Was der Binomialkoeffizient zählt, lässt sich mit kleinen Zahlen am Taschenrechner nachvollziehen, und der Taschenrechner hat die Fakultät dafür.

Ein Stück Geschichte: Bernoullis Ars Conjectandi und die Erbsen von Mendel

Jakob Bernoulli schrieb zwischen 1684 und 1689 die "Ars Conjectandi", die Kunst des Vermutens, die erst 1713, acht Jahre nach seinem Tod, von seinem Neffen Nikolaus herausgegeben wurde, und darin steht die Verteilung mit den zwei Ausgängen und das Gesetz der großen Zahlen, der Beweis, dass die relative Häufigkeit mit wachsendem n gegen p strebt. Blaise Pascal hatte 1654 das Dreieck der Binomialkoeffizienten für Glücksspielfragen des Chevalier de Méré benutzt, der wissen wollte, ob es sich lohnt, auf mindestens eine Sechs in vier Würfen zu wetten, 51,8 Prozent, ja, und auf eine Doppelsechs in 24 Würfen, 49,1 Prozent, nein. Abraham de Moivre fand 1733 die Näherung durch die Normalverteilung, Gauß und Laplace bauten sie aus, und Gregor Mendel zählte 1865 in Brünn Erbsen, 5.474 runde gegen 1.850 kantige, ein Verhältnis von 2,96 zu 1, und bestätigte damit die 3:1-Regel der Vererbung, eine Binomialverteilung mit p = 0,75, so genau, dass Ronald Fisher 1936 argwöhnte, die Daten seien zu gut. In der Industrie wurde die Verteilung mit Walter Shewharts Qualitätskontrolle bei Bell Labs 1924 zum Werkzeug, Stichprobe, Ausschussquote, Annahme oder Ablehnung einer Lieferung, und in der Medizin ist jeder Wirksamkeitstest ein Binomialtest. Im Abitur steht die Binomialverteilung seit den 1970er Jahren als Pflichtstoff, mit der Tabelle im Anhang der Formelsammlung, die der Rechner ersetzt. Der Rechner rechnet, was Bernoulli die Kunst des Vermutens nannte.

Praktische Tipps

Prüfen Sie zuerst die vier Bedingungen der Bernoulli-Kette, dann rechnen Sie. Übersetzen Sie "mehr als", "mindestens", "höchstens", "weniger als" in k, bevor Sie in den Rechner tippen. Geben Sie p als Bruch ein, wenn es einer ist, 1/6 statt 0,17. Nutzen Sie die Tabelle für Fragen nach dem kleinsten k mit 95 oder 99 Prozent. Rechnen Sie "mindestens einer" über das Gegenereignis. Prüfen Sie am Erwartungswert, ob das Ergebnis plausibel ist. Und notieren Sie in Klausuren n, p und k mit Begründung. Zum Ausprobieren würfelt der Zufallszahl-Generator 20 Zahlen von 1 bis 6, zählen Sie die Sechsen.