Potenzrechner

So funktioniert der Potenzrechner

Der Potenzrechner rechnet Basis hoch Exponent für jede Zahl: ganze Exponenten als Rechenkette ausgeschrieben, negative Exponenten als Kehrwert, gebrochene als Wurzel, und dazu den Kehrwert des Ergebnisses, das Quadrat der Basis, die Darstellung als Zehnerpotenz und die Stellenzahl bei großen Ergebnissen. Das deckt die Schulaufgabe "2 hoch 10", den Zinsfaktor "1,05 hoch 20" für 20 Jahre mit 5 Prozent, die Speichergröße "2 hoch 32" und die Wurzel als "16 hoch 0,5" ab.

Merksatz: Der Exponent sagt, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird, hoch null ist immer 1, hoch minus eins ist der Kehrwert, hoch einhalb die Quadratwurzel. Die Eselsbrücke für Zinsen: 1 plus Zinssatz hoch Jahre ist der Faktor, und 1,07 hoch 10 ist fast 2, die 72er-Regel in Zahlen.

Drei Beispiele:

• 2 hoch 10: 1.024, also 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, Kehrwert 0,000977, als Zehnerpotenz 1,024 · 10³, vier Stellen.
• 1,05 hoch 20: 2,653298, der Zinsfaktor für 20 Jahre mit 5 Prozent, aus 10.000 Euro werden 26.533; 1,07 hoch 10 ist 1,967151, fast eine Verdopplung.
• 2 hoch minus 3: 0,125, denn ein negativer Exponent bedeutet 1 durch 2 hoch 3; 16 hoch 0,5 ist 4, die Quadratwurzel.

Formeln: bⁿ = b × b × … × b (n-mal), b⁻ⁿ = 1 / bⁿ, b^(1/n) = ⁿ√b, b⁰ = 1, Zinsfaktor = (1 + p/100)ⁿ. Die Umkehrung, welche Hochzahl zu einem Ergebnis führt, rechnet der Logarithmus-Rechner, Wurzeln mit beliebigem Wurzelexponenten der Wurzelrechner.

Wissenswertes zum Thema

Potenzgesetze: Die fünf Regeln, die alles erklären

Eine Potenz ist eine Abkürzung für wiederholtes Multiplizieren, 2 hoch 10 für zehn Zweien, und die Rechenregeln folgen daraus: Gleiche Basis, Exponenten addieren, 2³ × 2⁴ = 2⁷, denn drei Zweien mal vier Zweien sind sieben; beim Dividieren subtrahieren, 2⁷ / 2³ = 2⁴; Potenz einer Potenz, Exponenten multiplizieren, (2³)⁴ = 2¹²; gleicher Exponent, Basen multiplizieren, 2³ × 5³ = 10³; und aus der Division folgt, warum b⁰ = 1 ist, 2³ / 2³ = 2⁰ = 1, und warum b⁻ⁿ der Kehrwert ist, 2⁰ / 2³ = 2⁻³ = 1/8. Gebrochene Exponenten sind Wurzeln, weil (b^½)² = b^1 sein muss, also ist b^½ die Quadratwurzel, 16^0,5 = 4, b^⅓ die Kubikwurzel, und b^(2/3) ist die Kubikwurzel von b², was der Rechner mit Dezimalexponenten rechnet, 8 hoch 0,6667 gleich 4. Negative Basen gehen mit ganzen Exponenten, minus 2 hoch 3 ist minus 8, hoch 4 ist 16, aber nicht mit gebrochenen, minus 8 hoch 0,5 hat keine reelle Lösung, und der Rechner sagt das. Zehnerpotenzen sind die Potenzen mit Basis 10, die der Rechner für große Ergebnisse anzeigt, 1.024 als 1,024 · 10³, und die Stellenzahl ist der Zehnerlogarithmus plus eins, 2 hoch 100 hat 31 Stellen. Welche Hochzahl man braucht, um von der Basis zum Ergebnis zu kommen, ist die Umkehrfrage, und die beantwortet der Logarithmus-Rechner: log₂(1.024) = 10.

Potenzen im Alltag: Zinsen, Speicher, Wachstum, Zerfall

Der Zinsfaktor ist die wichtigste Potenz im Leben: 1 plus Zinssatz hoch Jahre, 1,05 hoch 20 gleich 2,6533, und aus 10.000 Euro werden in 20 Jahren 26.533 Euro, aus 1,07 hoch 10 gleich 1,967 die fast-Verdopplung in zehn Jahren bei 7 Prozent, die hinter der 72er-Regel steckt, 72 durch Zinssatz gleich Verdopplungsjahre; Inflation rechnet genauso, 1,02 hoch 30 gleich 1,81, und die Kaufkraft von heute ist in 30 Jahren bei 2 Prozent Inflation 1 durch 1,81, also 55 Prozent, der Kehrwert, den der Rechner mit ausgibt. Zweierpotenzen sind die Sprache der Computer, 2 hoch 8 gleich 256 Werte in einem Byte, 2 hoch 10 gleich 1.024 für Kibi, 2 hoch 20 für Mebi, 2 hoch 32 gleich 4.294.967.296 Adressen für 32-Bit-Systeme, daher die 4-Gigabyte-Grenze alter Rechner, 2 hoch 64 für die heutigen, und 2 hoch 128 für IPv6-Adressen, eine Zahl mit 39 Stellen. Exponentielles Wachstum ist eine Potenz mit der Zeit als Exponent, Bakterien, die sich stündlich verdoppeln, sind nach 24 Stunden 2 hoch 24 gleich 16,8 Millionen, eine Pandemie mit Reproduktionszahl 1,3 je Woche nach 10 Wochen das 13,8-Fache, und Zerfall ist eine Potenz mit Basis unter 1, 0,5 hoch Anzahl Halbwertszeiten, nach 10 Halbwertszeiten ist ein Tausendstel übrig. Die Richterskala, Dezibel und pH-Wert sind Zehnerpotenzen, ein Erdbeben der Stärke 7 setzt 10 hoch 1,5 gleich 31,6-mal mehr Energie frei als eines der Stärke 6. Was der Zinsfaktor mit regelmäßigen Einzahlungen macht, rechnet der Zinseszinsrechner Jahr für Jahr.

Rechnen von Hand und typische Fehler

Von Hand rechnet man Potenzen mit ganzem Exponenten durch wiederholtes Quadrieren, 2 hoch 10 ist (2 hoch 5)², 32², 1.024, und 1,05 hoch 20 ist ((1,05²)²)⁵, auf dem Taschenrechner mit der Taste x^y oder dem Dach ^; in Excel steht =1,05^20 oder =POTENZ(1,05;20). Der erste Fehler ist die Verwechslung mit der Multiplikation, 2 hoch 10 ist nicht 20. Der zweite ist das Vorzeichen bei negativen Basen, minus 2 hoch 2 ist 4, aber minus (2 hoch 2) ist minus 4, und der Taschenrechner liest -2^2 je nach Modell verschieden; Klammern setzen. Der dritte ist das Addieren von Exponenten bei verschiedenen Basen, 2³ × 3³ ist 6³, nicht 6⁶. Der vierte ist 0 hoch 0, das der Rechner als 1 ausgibt, wie die meisten Programme, obwohl Mathematiker darüber streiten. Der fünfte ist der Zinsfaktor mit dem Prozentwert statt dem Faktor, 5 hoch 20 statt 1,05 hoch 20. Der sechste ist das Runden von Zwischenergebnissen, 1,05 hoch 20 mit 1,1025 als 1,10 gerechnet ergibt 2,59 statt 2,65. Der siebte sind zu große Ergebnisse, 10 hoch 400 übersteigt den Zahlenbereich des Rechners und ergibt eine Meldung; bis 10 hoch 308 geht es. Der achte ist die Wurzel aus negativen Zahlen über gebrochene Exponenten. Für Quadrat- und Kubikwurzeln mit Rechenweg ist der Wurzelrechner der direktere Weg, der Potenzrechner nimmt 0,5 und 0,3333.

Ein Stück Geschichte: Vom Reiskorn auf dem Schachbrett zum Exponenten von Descartes

Die Legende vom Erfinder des Schachspiels, der vom indischen König als Lohn ein Reiskorn auf dem ersten Feld, zwei auf dem zweiten, vier auf dem dritten verlangte, 2 hoch 63 auf dem letzten, zusammen 18,4 Trillionen Körner, mehr als alle Ernten der Menschheit, ist über tausend Jahre alt und die früheste Lektion über Potenzen; Archimedes rechnete im 3. Jahrhundert vor Christus in der "Sandrechnung" mit Potenzen der Myriade, um die Sandkörner im Universum zu zählen, und kam auf 10 hoch 63. Die Schreibweise mit hochgestellter Zahl ist dagegen jung: Nicolas Chuquet nutzte 1484 erste Exponenten, Michael Stifel beschrieb 1544 in Nürnberg die Rechenregeln und prägte das Wort "Exponent", und René Descartes schrieb 1637 in "La Géométrie" zum ersten Mal x³ so, wie es heute jeder Schüler schreibt, wobei er für das Quadrat noch xx verwendete. Isaac Newton erweiterte 1676 die Exponenten auf Brüche und negative Zahlen und machte damit Wurzel und Kehrwert zu Potenzen, Leonhard Euler führte 1748 die Exponentialfunktion mit der Basis e ein und klärte, dass a hoch x für jede reelle Zahl x sinnvoll ist. Der Zinseszins, die Alltagspotenz, wurde schon in Babylon berechnet, Tontafeln um 2000 v. Chr. fragen, wann sich ein Kapital bei 20 Prozent verdoppelt, und die 72er-Regel steht bei Luca Pacioli 1494. Die Zweierpotenzen des Computers gehen auf Leibniz zurück, der 1703 das Binärsystem beschrieb. Der Rechner rechnet die Potenz, die der König dem Schacherfinder nicht zahlen konnte.

Praktische Tipps

Setzen Sie bei negativen Basen Klammern, auch im Kopf. Rechnen Sie Zinsen mit dem Faktor 1 plus Prozent, nicht mit dem Prozentwert. Nutzen Sie die 72er-Regel zur Kontrolle, 72 durch Zinssatz sind die Verdopplungsjahre. Merken Sie sich die Zweierpotenzen bis 2 hoch 10 und 2 hoch 16 gleich 65.536. Lesen Sie große Ergebnisse in Zehnerpotenzen. Runden Sie erst am Ende. Rechnen Sie Zerfall mit Basis 0,5 und Halbwertszeiten als Exponent. Und prüfen Sie Wurzeln über die Probe, 4 hoch 2 ist 16. Für die Frage, wie viele Jahre bis zur Verdopplung bei 5 Prozent, rechnet der Logarithmus-Rechner log zur Basis 1,05 von 2, das sind 14,2 Jahre.