Rundungsrechner

So funktioniert der Rundungsrechner

Der Rundungsrechner rundet eine Zahl auf so viele Nachkommastellen, wie Sie wollen, oder mit negativer Stellenzahl auf Zehner, Hunderter und Tausender, und das in vier Arten: kaufmännisch runden, wie es die Schule lehrt und das Finanzamt verlangt, mathematisch runden nach der Banker-Regel, bei der die 5 zur geraden Zahl geht, abrunden und aufrunden. Das Ergebnis kommt mit allen vier Varianten im Vergleich und dem Rundungsfehler, und der Rechner korrigiert das bekannte Computerproblem, bei dem 2,675 fälschlich zu 2,67 wird. Das ist der Rechner für Preise, Rechnungen, Noten, Messwerte, Excel-Tabellen und jede Diskussion darüber, ob 2,5 nun 2 oder 3 ist.

Merksatz: Kaufmännisch heißt ab 5 aufrunden, mathematisch heißt bei genau 5 zur geraden Zahl. Die Eselsbrücke: Der Kaufmann rundet immer nach oben, wenn die 5 kommt, der Banker mal so, mal so, damit es sich über viele Beträge ausgleicht.

Drei Beispiele:

• 2,675 auf 2 Stellen kaufmännisch: 2,68, obwohl viele Programme 2,67 liefern, weil die Zahl intern 2,67499… ist, der Rechner korrigiert das.
• 2,5 und 3,5 mathematisch auf ganze Zahlen: 2 und 4, jeweils zur geraden Zahl, kaufmännisch wären es 3 und 4.
• 1.234.567 auf Tausender, Stellenzahl -3: 1.235.000, Rundungsfehler 433, abgerundet 1.234.000.

Formeln: kaufmännisch: ⌊|x| × 10^n + 0,5⌋ / 10^n mit Vorzeichen, abrunden: ⌊x × 10^n⌋ / 10^n, aufrunden: ⌈x × 10^n⌉ / 10^n, Rundungsfehler = gerundet - Original. Wie groß die Abweichung in Prozent ist, rechnet der Abweichungsrechner, und Preise mit Mehrwertsteuer, bei denen die Rundung zählt, der Mehrwertsteuer-Rechner.

Wissenswertes zum Thema

Vier Arten zu runden und wann welche gilt

Kaufmännisches Runden ist die Regel der Schule und des Handels: Man schaut auf die erste wegfallende Stelle, ist sie 0 bis 4, bleibt die letzte behaltene Stelle, ist sie 5 bis 9, wird um eins erhöht, 2,675 wird 2,68, 3,14159 wird 3,14, und bei negativen Zahlen rundet man den Betrag, minus 2,5 wird minus 3, also vom Nullpunkt weg; die DIN 1333 nennt das Runden mit Aufrunden bei 5, und die Preisangabenverordnung verlangt es für Endpreise. Mathematisches Runden, auch Banker-Rundung, symmetrisches Runden oder round half to even, unterscheidet sich nur bei der exakten 5 ohne weitere Stellen: Dann wird zur geraden Zahl gerundet, 2,5 wird 2, 3,5 wird 4, 0,125 wird 0,12, so dass über viele Beträge die Aufrundungen und Abrundungen sich ausgleichen, statt dass jede 5 nach oben geht und die Summe systematisch wächst; die IEEE-754-Norm für Gleitkommazahlen schreibt diese Rundung vor, Python und .NET nutzen sie standardmäßig, die Buchhaltung meist nicht. Abrunden und Aufrunden sind die Verfahren, bei denen die Richtung feststeht: Beim Bestellen von Material rundet man auf, 16,9 Liter Farbe sind 17, bei Altersgrenzen und Fristen rundet man ab, 17,9 Jahre sind 17, und bei Noten rundet mancher Lehrer zum Vorteil des Schülers. Negative Stellen runden auf Zehner, Hunderter und Tausender, Stellenzahl minus 3 macht aus 1.234.567 die Zahl 1.235.000, was in Statistik und Presse die Regel ist, 83,6 Millionen statt 83.577.140. Der Rechner zeigt zu jeder Rundung die drei anderen Varianten und den Rundungsfehler, bei 2,675 auf 2,68 sind das 0,005. Wie groß ein Rundungsfehler im Verhältnis zur Zahl ist, rechnet der Abweichungsrechner in Prozent.

Warum Computer 2,675 zu 2,67 runden

Das berühmteste Rundungsproblem der Programmierung: In JavaScript, Python, Excel und fast jeder Sprache ergibt das Runden von 2,675 auf zwei Stellen 2,67 statt 2,68, und 1,005 wird 1,00 statt 1,01. Der Grund ist nicht die Rundungsregel, sondern die Speicherung: Computer rechnen binär, und so wie ein Drittel dezimal nicht endlich darstellbar ist, 0,3333…, ist ein Zehntel binär nicht endlich darstellbar, und 2,675 wird intern als 2,67499999999999982236431605997495353221893310546875 gespeichert, die nächstgelegene Zahl, die sich mit 64 Bit darstellen lässt; die Rundungsregel sieht eine 4 nach der 7 und rundet korrekt ab, nur die gespeicherte Zahl war schon falsch. Dasselbe Phänomen macht aus 0,1 plus 0,2 in jeder Sprache 0,30000000000000004. Der Rechner umgeht das, indem er die Zahl vor dem Runden auf neun Nachkommastellen bereinigt, so dass 2,675 wieder 2,675 ist und kaufmännisch 2,68 ergibt. In der Praxis arbeiten Banken und Buchhaltungen deshalb nicht mit Gleitkommazahlen, sondern mit Ganzzahlen in Cent oder mit Dezimaltypen wie DECIMAL in Datenbanken und decimal in Python und Java, die dezimal speichern und korrekt runden; wer in Excel mit RUNDEN(2,675;2) arbeitet, bekommt 2,68, weil Excel intern eine Korrektur einbaut, bei anderen Werten wie 1,0049999 aber trotzdem Überraschungen erlebt. Bei der Mehrwertsteuer summieren sich Rundungsfehler, 100 Positionen zu 0,005 Euro Fehler sind 50 Cent, weshalb das Umsatzsteuergesetz erlaubt, die Steuer je Rechnung statt je Position zu runden. Wie die Steuer aus Netto und Brutto gerundet wird, zeigt der Mehrwertsteuer-Rechner.

Rechnen von Hand und typische Fehler

Von Hand: Die Stelle markieren, bis zu der gerundet wird, auf die nächste schauen, bei 5 bis 9 erhöhen, Rest streichen, 3,14159 auf zwei Stellen ist 3,14, auf drei 3,142, auf vier 3,1416. Der erste Fehler ist das Kettenrunden, 2,4449 erst auf 2,445, dann auf 2,45, dann auf 2,5 und schließlich auf 3, richtig ist 2, man rundet immer nur einmal von der Originalzahl. Der zweite ist das Runden von Zwischenergebnissen, wer Mehrwertsteuer, Rabatt und Skonto jeweils gerundet weiterrechnet, liegt am Ende um Cent daneben, gerundet wird zum Schluss. Der dritte ist die falsche Richtung bei negativen Zahlen, minus 2,5 wird kaufmännisch minus 3, in manchen Programmen aber minus 2, weil sie zur positiven Unendlichkeit runden. Der vierte ist die 5-Regel bei Messwerten, 2,65 cm können 2,649 oder 2,651 gewesen sein, die Rundung zur 5 ist eine Konvention, nicht die Wahrheit. Der fünfte ist die Nachkommastelle null bei Geld, 19,99 Euro abgerundet sind 19, aber niemand verkauft so. Der sechste ist das Runden von Prozentwerten, deren Summe dann 101 Prozent ergibt, bei 33,3 plus 33,3 plus 33,3 fehlt ein Zehntel. Der siebte ist das Runden in der Zinsrechnung, wo Banken auf den Cent genau, aber nicht auf halbe Cent abrechnen. Und der achte ist die signifikante Stelle, 0,00123 auf zwei Nachkommastellen ist 0,00 und damit nichts, hier rundet man auf zwei signifikante Stellen, 0,0012. Bei Brüchen, die periodisch werden, zeigt der Bruchrechner den exakten Wert vor jeder Rundung.

Ein Stück Geschichte: Von der Rechenkunst zur IEEE-Norm

Das Runden ist so alt wie die Dezimalzahl, die Simon Stevin 1585 in seinem Büchlein "De Thiende" in Europa einführte und dabei gleich erklärte, wie man überflüssige Stellen "wegwirft". Die Regel mit der 5 nach oben ist die der Kaufleute und steht in jedem Rechenbuch seit dem 17. Jahrhundert, und Adam Ries hatte schon 1522 in seinem Rechenbuch Anleitungen zum Vereinfachen von Brüchen gegeben, die auf dasselbe hinauslaufen. Die Rundung zur geraden Zahl ist jünger und stammt aus der Astronomie und Statistik des 19. Jahrhunderts, bei der man erkannte, dass tausend aufgerundete Fünfen die Summe systematisch verfälschen, und die Buchhalter der Banken übernahmen sie, daher der Name Banker-Rundung, auch wenn Banken heute meist kaufmännisch runden. Normiert wurde sie 1985 in der IEEE-754-Norm für Gleitkommazahlen, deren Vater William Kahan an der Berkeley-Universität die Rundung zur geraden Zahl als Standard durchsetzte, womit jeder Prozessor seit dem Intel 8087 so rundet. In Deutschland regelt DIN 1333 seit 1992 das Runden von Zahlen, mit kaufmännischer Rundung als Regel und Rundung zur geraden Zahl als Ausnahme für Messreihen. Die Euro-Einführung 1999 machte das Runden zum Gesetz: Die EU-Verordnung 1103/97 schrieb vor, dass Umrechnungen auf den Cent kaufmännisch zu runden und Umrechnungsfaktoren mit sechs Stellen zu nutzen sind, 1 Euro gleich 1,95583 DM, und dass nicht über Zwischenwährungen gerundet werden darf. Und das Rundungsproblem der Computer hat 1991 Tote gefordert: Eine Patriot-Abwehrrakete in Dhahran verfehlte eine Scud, weil die Systemuhr die Zeit in Zehntelsekunden binär gerundet hatte und nach 100 Betriebsstunden um 0,34 Sekunden falsch ging, 28 Soldaten starben. Der Rechner rundet nach DIN 1333 und korrigiert, was die Binärzahl verfälscht.

Praktische Tipps

Runden Sie immer nur einmal und erst am Ende der Rechnung. Nehmen Sie kaufmännisch für Preise, Steuern und Schule, mathematisch für Messreihen und Statistik. Prüfen Sie bei Programmen das Verhalten bei 2,675 und bei negativen Zahlen. Rechnen Sie Geld in Cent als Ganzzahl oder mit Dezimaltypen. Runden Sie Prozentangaben so, dass die Summe stimmt, notfalls mit Hinweis. Und geben Sie nicht mehr Stellen an, als die Messung hergibt. Wie Prozentwerte gerundet werden, zeigt der Prozentrechner.