Dreieck-Rechner
Drei Stücke eintragen, der Rechner ergänzt den Rest: alle Seiten und Winkel, Fläche nach Heron, Umfang, Höhen, Umkreis und Inkreis.
Dreieck berechnen
Längen in einer Einheit, Winkel in Grad. Bei SSW weist der Rechner auf zwei Lösungen hin.
Beispiel: a = 3, b = 4, c = 5: Fläche 6, γ = 90°
So funktioniert der Dreieck-Rechner
Der Dreieck-Rechner löst jedes allgemeine Dreieck aus drei gegebenen Stücken. Sie wählen den Fall, SSS (drei Seiten), SWS (zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel), WSW (eine Seite und die beiden anliegenden Winkel) oder SSW (zwei Seiten und der Gegenwinkel der längeren), tragen die Werte ein und bekommen alle drei Seiten, alle drei Winkel, die Fläche, den Umfang, die drei Höhen, den Umkreisradius und den Inkreisradius. Dazu ordnet der Rechner das Dreieck ein: spitz-, recht- oder stumpfwinklig, gleichseitig, gleichschenklig oder allgemein. Im Fall SSW, der zwei Lösungen haben kann, zeigt er die zweite Lösung mit an. Längen können in jeder Einheit stehen, die Fläche kommt dann in deren Quadrat.
Merksatz: Drei Stücke bestimmen ein Dreieck, aber drei Winkel allein nicht, denn die legen nur die Form fest, nicht die Größe. Eselsbrücke für die Winkelnamen: α liegt bei A gegenüber von a, β bei B gegenüber von b, γ bei C gegenüber von c. Die Winkelsumme ist immer 180 Grad.
Drei Beispiele:
- SSS mit a = 3, b = 4, c = 5: α = 36,87°, β = 53,13°, γ = 90°, das Dreieck ist rechtwinklig. Fläche 6, Umfang 12, Höhe auf c 2,40, Umkreisradius 2,50, Inkreisradius 1.
- SWS mit a = 7, b = 5, γ = 60°: c = 6,24, α = 76,10°, β = 43,90°, Fläche 15,16, Umfang 18,24, spitzwinklig.
- WSW mit c = 10, α = 40°, β = 60°: γ = 80°, a = 6,53, b = 8,79, Fläche 28,26, Umfang 25,32.
Formeln: Kosinussatz c² = a² + b² - 2ab × cos γ, Sinussatz a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R, Fläche nach Heron A = √(s(s - a)(s - b)(s - c)) mit s = halber Umfang, Höhe h_c = 2A / c, Umkreis R = abc / 4A, Inkreis r = A / s. Für rechtwinklige Dreiecke reicht der Pythagoras-Rechner, für andere Figuren der Flächenrechner.
Wissenswertes zum Thema
Die Kongruenzsätze: Wann ist ein Dreieck bestimmt?
Ein Dreieck hat sechs Stücke, drei Seiten und drei Winkel, und drei davon reichen in den meisten Fällen, um die anderen drei zu berechnen. Die Kongruenzsätze sagen, welche Kombinationen eindeutig sind. SSS: Drei Seiten legen das Dreieck fest, solange die Dreiecksungleichung gilt, jede Seite muss kürzer sein als die Summe der beiden anderen. SWS: Zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel sind eindeutig. WSW und SWW: Eine Seite und zwei Winkel reichen, weil der dritte Winkel aus der Winkelsumme folgt. SSW: Zwei Seiten und der Gegenwinkel der längeren Seite sind eindeutig; liegt der gegebene Winkel aber der kürzeren Seite gegenüber, kann es zwei Dreiecke geben, das ist der berüchtigte zweideutige Fall. Drei Winkel (WWW) bestimmen nur die Form: Alle Dreiecke mit 30, 60 und 90 Grad sind ähnlich, aber beliebig groß. Der Rechner prüft diese Bedingungen, meldet unmögliche Eingaben wie 3, 4, 8 und zeigt im SSW-Fall beide Lösungen.
Sinussatz und Kosinussatz
Der Kosinussatz ist der Pythagoras für schiefe Dreiecke: c² = a² + b² - 2ab × cos γ. Bei γ = 90° fällt der Kosinus weg und es bleibt a² + b² = c². Mit ihm löst man SWS direkt und SSS durch Umstellen nach dem Winkel: cos α = (b² + c² - a²) / 2bc. Der Sinussatz a / sin α = b / sin β = c / sin γ verbindet jede Seite mit ihrem Gegenwinkel und ist das Werkzeug für WSW und SSW. Sein Quotient ist übrigens gleich dem Durchmesser des Umkreises, 2R, was eine elegante Brücke zur Kreisgeometrie schlägt. Die Zweideutigkeit bei SSW steckt im Arkussinus: sin β = 0,64 gilt für β = 40° und für β = 140°. Ist die Seite gegenüber dem gegebenen Winkel die längere, scheidet die stumpfe Lösung aus, weil die Winkelsumme überschritten würde. Für die Fläche braucht man anschließend keinen Winkel mehr: Die Heron-Formel kommt mit den drei Seiten aus und liefert in einem Schritt auch die Höhen, denn jede Höhe ist doppelte Fläche durch Grundseite.
Besondere Punkte und Kreise
Zu jedem Dreieck gehören zwei Kreise, die der Rechner mit ausgibt. Der Umkreis geht durch alle drei Ecken, sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, sein Radius R = abc / 4A. Beim rechtwinkligen Dreieck liegt der Mittelpunkt genau auf der Mitte der Hypotenuse, deshalb ist R beim 3-4-5-Dreieck 2,5, der Satz des Thales in Zahlen. Der Inkreis berührt alle drei Seiten von innen, sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, sein Radius r = A / s. Beim gleichseitigen Dreieck mit Seite 6 sind R = 3,46 und r = 1,73, also genau das Doppelte, und alle Höhen betragen 5,20. Ein gleichschenkliges Dreieck mit Schenkeln 5 und Basis 8 ist dagegen stumpfwinklig: Der Winkel an der Spitze beträgt 106,26°, die Höhe auf die Basis nur 3. Solche Vergleiche zeigen, warum die Einordnung im Ergebnis hilft: Ein Dreieck ist stumpfwinklig, sobald die längste Seite im Quadrat größer ist als die Summe der beiden anderen Quadrate.
Ein Stück Geschichte
Dreiecke zu berechnen war über Jahrtausende Landvermessung. Ägyptische Seilspanner nutzten das 3-4-5-Dreieck, um nach jeder Nilflut rechte Winkel auf den Feldern abzustecken. Euklid bewies um 300 vor Christus in den "Elementen" die Kongruenzsätze und in Buch II eine geometrische Form des Kosinussatzes, lange bevor es Kosinusfunktionen gab. Heron von Alexandria überlieferte im 1. Jahrhundert die Flächenformel aus den drei Seiten, die wohl schon Archimedes kannte. Der Sinussatz in heutiger Form stammt aus der arabischen und persischen Mathematik des 10. und 11. Jahrhunderts, unter anderem von Abu Nasr Mansur und al-Biruni, und kam über Regiomontanus' "De triangulis omnimodis" von 1464 nach Europa. Die große Anwendung wurde die Triangulation: Willebrord Snellius vermaß 1615 mit einer Kette von Dreiecken die Strecke zwischen Alkmaar und Bergen op Zoom, um den Erdumfang zu bestimmen. Carl Friedrich Gauß leitete ab 1821 die Landesvermessung des Königreichs Hannover und berechnete dabei Zehntausende von Dreiecken, darunter das große zwischen Brocken, Inselsberg und Hohem Hagen mit Seiten von bis zu gut 100 Kilometern. Bis zur Satellitennavigation blieb der Sinussatz das Rückgrat jeder Landkarte.
Praktische Tipps
Achten Sie auf die Zuordnung: Seite a liegt gegenüber von Winkel α, und beim Fall SWS muss der eingetragene Winkel zwischen den beiden Seiten liegen, nicht gegenüber. Alle Längen in derselben Einheit eintragen, Winkel in Grad, nicht in Bogenmaß oder Gon. Wenn der Rechner die Dreiecksungleichung meldet, hat sich meist ein Messwert verschoben; ein Dreieck mit 3, 4 und 8 ist kein Dreieck. Im Fall SSW lohnt ein Blick auf den Hinweis zur zweiten Lösung, in Vermessungsaufgaben entscheidet dann eine Zusatzinformation, welche gemeint ist. Für Dachgauben, Giebel und Geländer sind oft Höhen gefragt, die stehen in der Ergebnistabelle. Für die Rechnung mit Wurzeln aus der Heron-Formel per Hand hilft der Wurzel-Rechner, und wenn Sie Hypotenuse oder Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks brauchen, geht es im Pythagoras-Rechner schneller.
Häufige Fragen
Wie berechnet man ein Dreieck aus drei Seiten?
Mit dem Kosinussatz: cos α = (b² + c² - a²) / (2bc), entsprechend für β, der dritte Winkel folgt aus 180° minus den beiden anderen. Die Fläche liefert die Heron-Formel aus dem halben Umfang s: A = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Für 3, 4, 5 ergibt das Winkel 36,87°, 53,13°, 90° und Fläche 6.
Was ist die Heron-Formel?
A = √(s × (s - a) × (s - b) × (s - c)) mit s = (a + b + c) / 2. Sie berechnet die Fläche allein aus den drei Seiten, ohne Höhe oder Winkel. Beim gleichseitigen Dreieck mit Seite 6 ist s = 9 und A = √(9 × 3 × 3 × 3) = 15,59.
Wann hat SSW zwei Lösungen?
Wenn der gegebene Winkel der kürzeren der beiden Seiten gegenüberliegt und spitz ist. Dann kann der zweite Winkel spitz oder stumpf sein. Bei a = 5, b = 7 und α = 40° sind β = 64,15° und β = 115,85° beide möglich. Der Rechner zeigt die Lösung mit spitzem β und nennt die zweite im Text.
Wie finde ich heraus, ob ein Dreieck rechtwinklig ist?
Wenn das Quadrat der längsten Seite gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden ist: 3² + 4² = 5². Ist es größer, ist das Dreieck stumpfwinklig, ist es kleiner, spitzwinklig. Der Rechner zeigt die Einordnung in der Ergebniszeile "Typ".
Wie berechnet man die Höhe eines Dreiecks?
Höhe = 2 × Fläche / Grundseite. Beim 3-4-5-Dreieck ist die Höhe auf die Hypotenuse 2 × 6 / 5 = 2,40. Jede der drei Höhen gehört zu einer anderen Grundseite, alle drei stehen in der Ergebnistabelle.
Was sind Umkreis und Inkreis?
Der Umkreis geht durch die drei Ecken, Radius R = abc / (4A). Der Inkreis berührt die drei Seiten von innen, Radius r = A / s. Beim rechtwinkligen Dreieck ist R die halbe Hypotenuse, beim gleichseitigen ist R doppelt so groß wie r.
Kann ich ein Dreieck aus drei Winkeln berechnen?
Nein, drei Winkel legen nur die Form fest, nicht die Größe. Alle Dreiecke mit denselben Winkeln sind ähnlich. Es muss mindestens eine Seite bekannt sein, dann reicht der Fall WSW.
In welcher Einheit rechnet der Dreieck-Rechner?
In der Einheit, in der Sie die Seiten eintragen. Zentimeter ergeben Fläche in Quadratzentimetern, Meter in Quadratmetern. Winkel immer in Grad, 90° ist der rechte Winkel. Gon oder Bogenmaß müssen vorher umgerechnet werden.