Korrelation-Rechner

So funktioniert der Korrelation-Rechner

Der Korrelations-Rechner nimmt zwei gleich lange Wertereihen, X und Y, und berechnet den Korrelationskoeffizienten r nach Pearson, eine Zahl zwischen -1 und 1, die sagt, wie stark und in welche Richtung die beiden zusammenhängen; dazu das Bestimmtheitsmaß R², den Anteil der Streuung von Y, den X erklärt, die Regressionsgerade y gleich b mal x plus a, die Mittelwerte, die Kovarianz und eine Einordnung von "kein" bis "sehr starker" Zusammenhang. Das ist der Rechner für Statistikaufgaben, Umfragen, Messreihen und die Frage, ob zwei Spalten in der Tabelle etwas miteinander zu tun haben.

Merksatz: r nahe 1 heißt, wenn X steigt, steigt Y, r nahe -1 heißt, wenn X steigt, fällt Y, r nahe 0 heißt kein linearer Zusammenhang, und Korrelation ist nie Ursache. Die Eselsbrücke für R²: r mal r ist der erklärte Anteil, 0,7 Korrelation erklärt nur die Hälfte.

Drei Beispiele:

• Körpergröße 160 bis 190 cm gegen Gewicht 55 bis 85 kg, sieben Personen: r = 0,9933, sehr starker positiver Zusammenhang, R² 98,7 Prozent, Regressionsgerade y = 0,9929 x minus 104,46, also knapp ein Kilogramm je Zentimeter.
• X 1 bis 6 gegen Y 2, 4, 5, 4, 5, 7: r = 0,8783, sehr stark, R² 77,1 Prozent, y = 0,7714 x plus 1,8, Kovarianz 2,7.
• X 10, 20, 30, 40, 50 gegen Y 50, 40, 30, 20, 10: r = -1, perfekt negativ, R² 100 Prozent, y = -x plus 60, Kovarianz -250.

Formeln: r = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / √(Σ(x - x̄)² × Σ(y - ȳ)²), R² = r², Steigung b = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / Σ(x - x̄)², Achsenabschnitt a = ȳ - b × x̄. Die Streuung jeder Reihe für sich rechnet der Standardabweichungsrechner, und die Mittelwerte, auf die sich alles bezieht, der Durchschnittsrechner.

Wissenswertes zum Thema

Was r misst und wie man es liest

Der Pearson-Koeffizient misst den linearen Zusammenhang zweier Größen, und seine Konstruktion erklärt seine Bedeutung: Für jedes Wertepaar wird geschaut, ob X und Y gemeinsam über oder unter ihrem Mittelwert liegen, die Produkte der Abweichungen werden summiert, das ist die Kovarianz, und durch die Streuungen beider Reihen geteilt, so dass die Einheiten herausfallen und r zwischen -1 und 1 liegt, egal ob man Zentimeter gegen Kilogramm oder Euro gegen Jahre aufträgt. Die Einordnung des Rechners folgt der verbreiteten Faustregel: unter 0,1 kein, bis 0,3 schwacher, bis 0,5 mittlerer, bis 0,8 starker, darüber sehr starker Zusammenhang, wobei die Psychologie nach Cohen schon 0,5 als stark nennt und die Physik unter 0,95 misstrauisch wird; Körpergröße und Gewicht mit 0,99 in der Beispielreihe sind unrealistisch sauber, echte Stichproben liegen bei 0,5 bis 0,7, weil Menschen gleicher Größe verschieden schwer sind. Das Bestimmtheitsmaß R² ist r zum Quadrat und sagt, welcher Anteil der Streuung von Y durch die Gerade erklärt wird, 0,8783 zum Quadrat sind 77,1 Prozent, und es ist die ehrlichere Zahl, weil r von 0,7 beeindruckend klingt und nur 49 Prozent erklärt. Die Regressionsgerade ist die Linie, die die quadrierten Abstände zu den Punkten minimiert, mit der Steigung als Kovarianz durch Varianz von X, 0,9929 Kilogramm je Zentimeter beim Gewicht, und dem Achsenabschnitt, der die Gerade durch den Schwerpunkt der Mittelwerte legt, und sie erlaubt Vorhersagen innerhalb des Datenbereichs, 175 Zentimeter ergeben 69,3 Kilogramm, aber nicht darüber hinaus, bei 100 Zentimetern käme minus 5 Kilogramm heraus. Die Kovarianz ist der unnormierte Zähler, in Einheiten von X mal Y, und für sich allein kaum interpretierbar. Wie die Standardabweichung, durch die geteilt wird, aus den Daten entsteht, zeigt der Standardabweichungsrechner.

Korrelation ist nicht Kausalität: Die vier Fallen

Der Satz steht in jedem Lehrbuch und wird in jeder Zeitung gebrochen, deshalb die vier Mechanismen, die eine Korrelation ohne Ursache erzeugen. Erstens die Drittvariable: Eisverkauf und Ertrinkungsfälle korrelieren stark, weil beide vom Sommer abhängen, Schuhgröße und Lesefähigkeit bei Kindern, weil beide vom Alter abhängen, und in jeder Datenanalyse ist die erste Frage, welche gemeinsame Ursache hinter X und Y stecken könnte. Zweitens die umgekehrte Richtung: Feuerwehrautos und Brandschaden korrelieren, aber die Autos verursachen den Schaden nicht, und ob Depression zu wenig Sport führt oder wenig Sport zu Depression, sagt r nicht. Drittens der Zufall: Bei fünf Wertepaaren ist ein r von 0,8 schnell erreicht, und wer 100 Variablenpaare durchprobiert, findet fünf mit "signifikanter" Korrelation ohne jeden Zusammenhang; die Website "Spurious Correlations" sammelt Perlen wie Käsekonsum und Tod durch Verheddern im Bettlaken mit r von 0,95. Viertens die Nichtlinearität: r misst nur Geraden, und ein perfekter U-förmiger Zusammenhang, Stress und Leistung, Dosis und Wirkung, ergibt r nahe null, obwohl Y vollständig von X abhängt; ein Streudiagramm vor der Rechnung zeigt das, und für monotone, aber nicht lineare Zusammenhänge gibt es Spearmans Rangkorrelation, die nur die Reihenfolge nutzt. Dazu kommen Ausreißer, ein einziger Punkt weit draußen kann r von 0,1 auf 0,8 ziehen, und eingeschränkte Bereiche, bei denen die Korrelation in der Teilstichprobe verschwindet, Intelligenz und Studienerfolg unter Studierenden. Ob ein r bei gegebener Stichprobengröße überhaupt vom Zufall zu unterscheiden ist, rechnet der Konfidenzintervall-Rechner für den zugrunde liegenden Mittelwert vor.

Rechnen von Hand und typische Fehler

Von Hand für die sechs Wertepaare: Mittelwerte 3,5 und 4,5, Abweichungen für jedes Paar, Produkte summieren, 13,5, Quadrate summieren, 17,5 und 13,5, r gleich 13,5 durch Wurzel aus 17,5 mal 13,5 gleich 0,8783; in Excel heißt die Funktion KORREL, in Google Sheets CORREL, in Python numpy.corrcoef, und der Rechner zeigt dieselben Zahlen mit Kovarianz 2,7, die Summe der Produkte durch n minus 1. Der erste Fehler ist die Verwechslung von Stärke und Steigung, r sagt, wie eng die Punkte an der Geraden liegen, nicht wie steil sie ist, und zwei Reihen mit r gleich 1 können die Steigung 0,01 oder 100 haben. Der zweite ist r ohne Streudiagramm, Anscombes Quartett sind vier Datensätze mit identischem r von 0,816 und völlig verschiedenen Bildern. Der dritte ist die Interpretation von r als Prozent, 0,5 sind keine 50 Prozent Zusammenhang, sondern 25 Prozent erklärte Varianz. Der vierte ist Pearson für Rangdaten und Noten, dafür Spearman. Der fünfte sind ungleich lange Reihen oder vertauschte Paare, der Rechner verlangt gleich viele Werte in derselben Reihenfolge. Der sechste ist die Extrapolation der Geraden über die Daten hinaus. Der siebte ist das Weglassen von Ausreißern ohne Begründung, um r zu verbessern. Der achte sind zu wenige Paare, unter zehn ist r Glückssache, und der Rechner verlangt mindestens drei. Und der neunte ist die Annahme, r gleich 0 bedeute Unabhängigkeit, es bedeutet nur keinen linearen Zusammenhang. Die Varianz, aus der die Streuungen im Nenner stammen, rechnet der Varianz-Rechner für Stichprobe und Grundgesamtheit.

Ein Stück Geschichte: Galtons Erbsen und Pearsons Formel

Die Korrelation wurde in einem Garten entdeckt: Francis Galton, Halbcousin von Charles Darwin, pflanzte 1875 Erbsen in sieben Größenklassen und maß die Samen der Nachkommen, und er fand, dass große Erbsen große, aber weniger extreme Nachkommen hatten, die "Regression zur Mitte", und dass sich der Zusammenhang als Gerade zeichnen ließ; 1886 wiederholte er das mit der Körpergröße von Eltern und Kindern, 928 Familien, und 1888 beschrieb er in "Co-relations and their measurement" den Koeffizienten, den er r nannte, für "reversion". Karl Pearson, sein Schüler und Nachfolger am University College London, gab 1896 die Formel, die der Rechner nutzt, die Produkt-Moment-Korrelation, und baute darauf die moderne Statistik, mit dem Chi-Quadrat-Test 1900 und der ersten Statistikzeitschrift Biometrika 1901. Charles Spearman entwickelte 1904 die Rangkorrelation für die Psychologie, Ronald Fisher 1915 die Verteilung von r und damit den Signifikanztest, und 1921 das Bestimmtheitsmaß R². Der Satz "Korrelation ist nicht Kausalität" stammt sinngemäß von Pearson selbst, der die Kausalität für einen Aberglauben hielt und nur Korrelationen gelten ließ, eine Position, die Judea Pearl in den 2000er Jahren mit der Kausalrechnung umdrehte. Die dunkle Seite der Geschichte gehört dazu: Galton und Pearson waren Eugeniker und entwickelten die Statistik zum Teil, um Vererbung von Intelligenz zu beweisen, und das University College benannte 2020 Gebäude und Hörsäle nach ihnen um. Der Rechner rechnet die Formel von 1896, die aus Galtons Erbsen entstand.

Praktische Tipps

Zeichnen Sie das Streudiagramm, bevor Sie r interpretieren. Lesen Sie R² statt r, wenn Sie wissen wollen, wie viel erklärt wird. Fragen Sie bei jeder Korrelation nach der Drittvariable. Nutzen Sie Spearman für Ränge, Noten und nichtlineare monotone Zusammenhänge. Rechnen Sie mit mindestens zehn Paaren, besser dreißig. Prüfen Sie Ausreißer, aber löschen Sie sie nicht, um r zu schönen. Extrapolieren Sie die Gerade nicht über den Datenbereich. Und schreiben Sie nie "X verursacht Y", wenn Sie nur r haben. Den Mittelwert und den Median jeder Reihe, die zur Einordnung von Ausreißern helfen, liefert der Median-Rechner.