Quersummen-Rechner

So funktioniert der Quersummen-Rechner

Der Quersummen-Rechner addiert die Ziffern einer Zahl, und zwar in allen Varianten, die Schule, Prüfziffern und Zahlenspielereien kennen. Der erste Kasten liefert die einfache Quersumme, die iterierte Quersumme (so lange wiederholt, bis eine Ziffer bleibt), die alternierende Quersumme mit wechselnden Vorzeichen von rechts, das Querprodukt und die gewichtete Quersumme, dazu die Teilbarkeit durch 3, 9 und 11. Der zweite Kasten prüft die Teilbarkeit durch 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 und 25 und erklärt bei jeder Zahl die Teilbarkeitsregel. Der dritte Kasten rechnet die Quersumme zur Basis 2 bis 36, etwa die Anzahl der Einsen im Binärsystem oder die Ziffernsumme einer Hexadezimalzahl.

Merksatz: Quersumme durch 3 teilbar, Zahl durch 3 teilbar; Quersumme durch 9 teilbar, Zahl durch 9 teilbar; alternierende Quersumme durch 11 teilbar, Zahl durch 11 teilbar. Eselsbrücke: Die iterierte Quersumme ist der Neunerrest, nur dass statt 0 die 9 steht.

Drei Beispiele:

• 123456789: Quersumme 45, iteriert 4 + 5 = 9, alternierende Quersumme von rechts 9 - 8 + 7 - 6 + 5 - 4 + 3 - 2 + 1 = 5, Querprodukt 362.880. Die Zahl ist durch 3 und 9 teilbar, nicht durch 11. Die Zahl 2026 hat die Quersumme 10, iteriert 1.
• 2024: teilbar durch 2, 4, 8 und 11; Quersumme 8, also nicht durch 3 teilbar; alternierende Quersumme 4 - 2 + 0 - 2 = 0, also durch 11 teilbar. 123456 ist durch 2, 3, 4, 6, 8 und 12 teilbar, 1001 durch 7 und 11.
• 255 im Binärsystem: 11111111, Quersumme 8, das Hamming-Gewicht. 4095 im Hexadezimalsystem ist FFF mit Quersumme 45 (F = 15), dezimal hat 4095 die Quersumme 18.

Formeln: Quersumme Q(n) = Summe aller Ziffern, iterierte Quersumme = Q so lange anwenden, bis das Ergebnis einstellig ist, alternierende Quersumme = e - z + h - t … von der Einerstelle aus. Die Regeln beruhen darauf, dass 10 beim Teilen durch 9 den Rest 1 und beim Teilen durch 11 den Rest -1 lässt. Die Primfaktoren liefert der Primzahl-Rechner, den Rest einer Division der Modulo-Rechner, und gemeinsame Teiler der ggT-kgV-Rechner.

Wissenswertes zum Thema

Quersumme: Mehr als ein Schultrick

Die Quersumme ist die Summe der Ziffern einer Zahl im Zehnersystem, und ihr Nutzen beruht auf einer einzigen Beobachtung: Jede Zehnerpotenz lässt beim Teilen durch 9 den Rest 1. Also lässt 1.000 · a + 100 · b + 10 · c + d denselben Rest wie a + b + c + d. Daraus folgt die Neunerprobe, mit der Kaufleute jahrhundertelang ihre Rechnungen kontrollierten: Stimmen die Quersummen von Rechnung und Ergebnis nicht überein, ist ein Fehler passiert. Die iterierte Quersumme, also das Wiederholen bis zur einzelnen Ziffer, liefert direkt diesen Rest beim Teilen durch 9, wobei ein Rest von 0 als 9 erscheint; 123456789 hat die iterierte Quersumme 9 und ist durch 9 teilbar. Die alternierende Quersumme nutzt dieselbe Idee für die 11: Weil 10 beim Teilen durch 11 den Rest -1 lässt, wechseln die Vorzeichen von Stelle zu Stelle, und die alternierende Quersumme hat denselben Elferrest wie die Zahl. Deshalb ist 2024 durch 11 teilbar, die alternierende Quersumme ist 0. Das Querprodukt und die gewichtete Quersumme sind Varianten für Rätsel und Prüfziffern; sobald eine 0 in der Zahl vorkommt, ist das Querprodukt null. In der Numerologie wird die iterierte Quersumme eines Geburtsdatums als Lebenszahl gedeutet, mathematisch ist sie nichts anderes als der Neunerrest.

Teilbarkeitsregeln von 2 bis 12

Die Teilbarkeitsregeln fassen zusammen, was man einer Zahl ohne Division ansieht. Durch 2 ist sie teilbar, wenn die letzte Ziffer gerade ist, durch 5 bei 0 oder 5, durch 10 bei 0. Durch 4 entscheiden die letzten zwei Ziffern, durch 8 die letzten drei, durch 25 die letzten zwei (00, 25, 50, 75), weil 100 durch 4 und 25 und 1.000 durch 8 teilbar ist. Durch 3 und 9 entscheidet die Quersumme, durch 11 die alternierende Quersumme. Zusammengesetzte Teiler kombinieren Regeln: durch 6 bei 2 und 3, durch 12 bei 3 und 4, durch 15 bei 3 und 5. Nur die 7 hat keine Regel, die sich im Kopf schnell anwenden lässt; der Trick mit dem Verdoppeln der letzten Ziffer (von 161 die 1 verdoppeln und von 16 abziehen ergibt 14, teilbar) funktioniert, braucht aber mehrere Schritte. Der Rechner prüft deshalb bei 7 direkt den Rest. Für 13 gibt es eine ähnliche Regel mit dem Vierfachen der letzten Ziffer. Wichtig für die Praxis: Die Regeln gelten für ganze Zahlen beliebiger Länge, der Rechner nimmt bis zu 300 Ziffern und rechnet die Reste stellenweise, ohne die Zahl je als Ganzes zu speichern.

Quersumme in anderen Zahlensystemen

Die Quersummenregel ist nichts Besonderes der Zahl 10: In jedem Stellenwertsystem zur Basis b verrät die Quersumme die Teilbarkeit durch b - 1 und die alternierende Quersumme die durch b + 1. Im Binärsystem ist die Quersumme die Anzahl der Einsen und heißt Hamming-Gewicht oder Popcount; Prozessoren haben dafür einen eigenen Befehl, weil Kryptografie und Fehlerkorrektur ständig Einsen zählen. 255 ist binär 11111111 mit acht Einsen, 256 ist 100000000 mit einer. Im Hexadezimalsystem mit den Ziffern 0 bis 9 und A bis F verrät die Quersumme die Teilbarkeit durch 15, im Oktalsystem die durch 7. Der Rechner wandelt jede ganze Zahl bis 2⁵³ in die gewählte Basis um und addiert die Ziffernwerte; bei Basis 16 zählt F als 15. Nebenbei zeigt das, warum die Neunerprobe ein Zufall des Dezimalsystems ist: Hätten wir zwölf Finger, wäre es die Elferprobe.

Ein Stück Geschichte

Die Neunerprobe ist über tausend Jahre alt. Der persische Mathematiker al-Chwarizmi beschrieb sie um 825 in seinem Rechenbuch, das über Spanien nach Europa kam; Leonardo Fibonacci erklärte sie 1202 im "Liber Abaci" ausführlich, und sie blieb bis ins 20. Jahrhundert fester Bestandteil des Rechenunterrichts, als Probe für Multiplikation und Division ohne Taschenrechner. Die Teilbarkeitsregel für 11 mit der alternierenden Quersumme findet sich bei Blaise Pascal, der 1654 eine allgemeine Methode für Teilbarkeitsregeln zu jeder Zahl angab. Die moderne Verwendung ist die Prüfziffer: Die Internationale Standardbuchnummer ISBN-10 nutzte seit 1970 eine gewichtete Quersumme modulo 11, die Artikelnummer EAN auf jedem Strichcode seit 1977 eine gewichtete Quersumme mit den Faktoren 1 und 3 modulo 10, die Kontonummer IBAN seit 2007 eine Prüfung modulo 97, und die Steuer-ID eine eigene Variante. Alle beruhen auf demselben Gedanken wie die Neunerprobe: Ein Tippfehler verändert die Quersumme, und das fällt auf, bevor die Buchung schiefgeht.

Praktische Tipps

Nutzen Sie die Quersumme beim Kopfrechnen: Ob eine Rechnung von 1.000 Euro durch 3 Personen aufgeht, sagt die Quersumme 1 sofort, nein. Prüfen Sie große Multiplikationen mit der Neunerprobe, das kostet zehn Sekunden und findet die meisten Zahlendreher. Merken Sie sich die Elferregel für Kontonummern und Artikelnummern, viele Prüfziffern basieren darauf. In der Schule gilt: Teilbarkeitsregeln erst verstehen, dann auswendig lernen; der Rechenweg im Rechner zeigt jeweils, welche Ziffern entscheiden. Und bei Zahlenrätseln hilft die Kombination aus Quersumme und Primfaktorzerlegung meist weiter als jede Formel. Römische Zahlen übersetzt der Römische-Zahlen-Rechner, die Prüfziffer einer IBAN kontrolliert der IBAN-Prüfer, und Potenzen zu jeder Basis rechnet der Potenzrechner.