Polynomdivision-Rechner

So funktioniert der Polynomdivision-Rechner

Der Polynomdivision-Rechner teilt ein Polynom f(x) durch ein Polynom g(x) und zeigt den Quotienten, den Rest, die Probe Quotient mal Divisor plus Rest gleich Dividend und die Grade der beteiligten Polynome. Sie tippen beide Polynome in normaler Schreibweise ein, mit ^ für Potenzen oder mit Hochzahlen, und der Rechner rechnet die Polynomdivision wie auf dem Papier: höchste Potenz durch höchste Potenz, zurückmultiplizieren, abziehen, nächste Potenz herunterholen, bis der Rest einen kleineren Grad hat als der Divisor.

Merksatz: Es ist schriftliches Dividieren mit x statt Zehnerstellen. Die Eselsbrücke für die Probe: Grad des Quotienten gleich Grad von f minus Grad von g, Grad des Rests kleiner als Grad von g, und wenn der Rest null ist, war der Divisor ein Teiler, und bei (x - a) ist a eine Nullstelle.

Drei Beispiele:

• (2x⁴ + 3x³ - x + 5) : (x² + 1): Quotient 2x² + 3x - 2, Rest -4x + 7. Probe: (2x² + 3x - 2)(x² + 1) + (-4x + 7) ergibt wieder das Ausgangspolynom.
• (x³ - 6x² + 11x - 6) : (x - 1): Quotient x² - 5x + 6, Rest 0; also ist 1 eine Nullstelle, und x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) liefert die anderen beiden.
• (3x³ + 1) : x²: Quotient 3x, Rest 1; die Funktion (3x³ + 1) / x² hat die schiefe Asymptote y = 3x.

Die Formel: f(x) = q(x) · g(x) + r(x) mit Grad r < Grad g. Die Nullstellen, die man danach abspaltet, findet der Nullstellen-Rechner, und das quadratische Restpolynom löst der Rechner für quadratische Gleichungen.

Wissenswertes zum Thema

So geht die Polynomdivision Schritt für Schritt

Beide Polynome nach fallenden Potenzen ordnen, fehlende Potenzen als 0·xⁿ mitdenken; in (2x⁴ + 3x³ - x + 5) fehlt das x², das ist der häufigste Fehler. Dann: Den höchsten Term des Dividenden durch den höchsten Term des Divisors teilen, 2x⁴ durch x² gibt 2x², das ist der erste Term des Quotienten. Diesen Term mit dem ganzen Divisor multiplizieren, 2x² · (x² + 1) = 2x⁴ + 2x², und vom Dividenden abziehen, übrig bleibt 3x³ - 2x² - x + 5. Wieder höchste Potenz durch höchste Potenz, 3x³ durch x² gibt 3x, zurückmultiplizieren 3x³ + 3x, abziehen, bleibt -2x² - 4x + 5. Nochmal: -2x² durch x² gibt -2, zurück -2x² - 2, abziehen, bleibt -4x + 7. Der Grad des Rests ist 1 und damit kleiner als der Grad 2 des Divisors, also ist Schluss: Quotient 2x² + 3x - 2, Rest -4x + 7, und als Bruch geschrieben f(x) / g(x) = 2x² + 3x - 2 + (-4x + 7) / (x² + 1). Das Abziehen ist die Fehlerquelle, weil alle Vorzeichen kippen, deshalb schreibt man das Produkt in Klammern darunter und zieht die ganze Klammer ab. Der Rechner zeigt die Probe, damit Sie das Ergebnis Ihrer eigenen Rechnung prüfen können, und die Hochzahlen der Potenzen für die Kontrolle der Grade. Die Ableitung des Ergebnisses für Kurvendiskussionen liefert der Ableitungsrechner.

Wofür man sie braucht: Nullstellen, Linearfaktoren, Asymptoten

Die Hauptanwendung in der Schule ist das Lösen von Gleichungen dritten und höheren Grades. Man rät eine Nullstelle, und wenn die Koeffizienten ganzzahlig sind, kommen nur Teiler des Absolutglieds in Frage, bei x³ - 6x² + 11x - 6 also ±1, ±2, ±3, ±6; x = 1 passt, Division durch (x - 1) ergibt x² - 5x + 6, und die p-q-Formel liefert 2 und 3. So zerlegt man das Polynom in Linearfaktoren (x - 1)(x - 2)(x - 3), das Ziel jeder Kurvendiskussion. Die zweite Anwendung sind gebrochen-rationale Funktionen: Ist der Zählergrad um eins größer als der Nennergrad, ergibt die Division einen linearen Quotienten, der die schiefe Asymptote beschreibt, (3x³ + 1) / x² = 3x + 1/x², Asymptote y = 3x, und bei größerem Unterschied eine Näherungskurve. Die dritte ist die Partialbruchzerlegung in der Integralrechnung, die nur für echt gebrochene Funktionen funktioniert, weshalb man vorher den ganzrationalen Anteil abdividiert. Eine Abkürzung für Divisoren der Form (x - a) ist das Horner-Schema, das nur mit Koeffizienten rechnet und nebenbei f(a) liefert; der Rest der Division durch (x - a) ist immer f(a), das ist der Satz vom Rest. Wie sich die Asymptote im Grenzwert zeigt, rechnet der Grenzwert-Rechner aus.

Typische Fehler und wie der Rechner hilft

Der erste Fehler ist die fehlende Potenz: Wer in x³ - 6x² + 11x - 6 oder in 2x⁴ + 3x³ - x + 5 das x² vergisst, holt die falschen Terme herunter. Der zweite ist das Vorzeichen beim Subtrahieren, besonders wenn der Quotiententerm negativ ist, -2 · (x² + 1) = -2x² - 2, abgezogen wird also -2x² - 2, was +2x² + 2 ergibt. Der dritte ist das vorzeitige Aufhören oder zu lange Weiterrechnen; die Regel ist streng: aufhören, sobald der Grad des Rests kleiner ist als der Grad des Divisors, also bei Division durch x² bleibt ein linearer Rest, bei Division durch (x - 1) eine Zahl. Der vierte ist der Divisor mit Vorfaktor, (2x - 1) statt (x - 1/2), was Brüche im Quotienten gibt, richtig, aber unübersichtlich. Der Rechner nimmt ganze und Dezimalzahlen mit Punkt als Koeffizienten, 0.5x statt 1/2 x, Potenzen bis zum Grad 12 und auch Polynome ohne Absolutglied; ist der Grad des Dividenden kleiner als der des Divisors, ist der Quotient 0 und der Rest der Dividend selbst. Die Probe, Quotient mal Divisor plus Rest, ist die Kontrolle, die auch in der Klausur zwei Zeilen kostet und viele Punkte rettet. Wer die Nullstellen ohne Raten braucht, nutzt den Nullstellen-Rechner.

Ein Stück Geschichte: Von al-Samawal bis Horner

Dass man Polynome wie Zahlen dividieren kann, erkannte der Mathematiker al-Samawal in Bagdad um 1150; in seinem Buch "al-Bahir" rechnet er Polynomdivisionen mit einer Tabelle der Koeffizienten, auch mit negativen Potenzen, und bekommt unendliche Reihen als Ergebnis. In Europa behandelte Simon Stevin 1585 in "L'Arithmétique" die Division von Polynomen als Verallgemeinerung der schriftlichen Division, mit derselben Methode, die heute in der Schule gelehrt wird. Den Satz vom Rest, dass die Division durch (x - a) den Rest f(a) lässt, formulierte Descartes 1637 in seiner "Géométrie", zusammen mit der Folgerung, dass ein Polynom genau dann durch (x - a) teilbar ist, wenn a Nullstelle ist, und mit seiner Vorzeichenregel zum Abschätzen der Nullstellen. Das Horner-Schema ist nach William George Horner benannt, der es 1819 veröffentlichte, aber Paolo Ruffini hatte es 1804 beschrieben, und chinesische Mathematiker rechneten im 13. Jahrhundert mit derselben Methode, Qin Jiushao 1247 in den "Mathematischen Abhandlungen in neun Kapiteln". Der Fundamentalsatz der Algebra, nach dem jedes Polynom n-ten Grades in n Linearfaktoren zerfällt, wenn man komplexe Zahlen zulässt, bewies Gauß 1799 in seiner Dissertation. Der Rechner rechnet das Verfahren von Stevin, in Sekundenbruchteilen und ohne Vorzeichenfehler.

Praktische Tipps

Ordnen Sie beide Polynome nach fallenden Potenzen und schreiben Sie fehlende Potenzen als 0 hin. Setzen Sie das Produkt beim Abziehen in Klammern. Hören Sie auf, wenn der Rest einen kleineren Grad hat als der Divisor. Raten Sie Nullstellen unter den Teilern des Absolutglieds, beginnen Sie mit ±1 und ±2. Nutzen Sie das Horner-Schema für Divisoren (x - a) und machen Sie am Ende die Probe. Prüfen Sie Ihr Ergebnis mit dem Rechner, aber rechnen Sie in der Klausur selbst, der Rechenweg gibt die Punkte. Für die Zerlegung des quadratischen Rests nutzen Sie den Rechner für quadratische Gleichungen.