Volumenrechner
Volumen und Oberfläche von Würfel, Quader, Kugel, Zylinder, Kegel, Pyramide, Prisma und Rohr, mit Umrechnung in Liter.
Wie groß ist das Volumen?
Körper wählen, Maße eintragen.
Beispiel: Kugel mit 6 cm Radius: 904,7787 cm³
So funktioniert der Volumenrechner
Der Volumenrechner berechnet das Volumen der acht Körper, die in Schule und Alltag vorkommen: Würfel, Quader, Kugel, Zylinder, Kegel, quadratische Pyramide, Prisma mit beliebiger Grundfläche und Rohr oder Hohlzylinder. Sie wählen die Form, tragen die Maße ein, alle in derselben Einheit, und bekommen das Volumen mit Formel, die Umrechnung in Liter und Kubikmeter, das Gewicht als Wasser und, wo es eine geschlossene Formel gibt, die Oberfläche.
Merksatz: Grundfläche mal Höhe, bei Spitzen durch drei, bei der Kugel vier Drittel Pi r hoch drei. Die Eselsbrücke für die Einheiten: Ein Kubikdezimeter ist ein Liter, 1.000 Kubikzentimeter sind ein Liter, ein Kubikmeter 1.000 Liter, und ein Liter Wasser wiegt ein Kilogramm. Wer das Volumen berechnen will, muss also nur Grundfläche und Höhe kennen, und bei Kegel und Pyramide den Drittel nicht vergessen.
Drei Beispiele:
- Kugel mit 6 cm Radius: 4/3 mal Pi mal 216 gleich 904,78 cm³, also 0,905 Liter, Oberfläche 452,39 cm².
- Zylinder mit 4 cm Radius und 10 cm Höhe: Pi mal 16 mal 10 gleich 502,65 cm³, 0,503 Liter, 0,503 Kilogramm als Wasser, Oberfläche 351,86 cm².
- Regentonne als Zylinder mit 30 cm Radius und 90 cm Höhe: Pi mal 900 mal 90 gleich 254.469 cm³, also 254 Liter, was der Aufschrift "250 Liter" entspricht.
Die Formeln: Würfel a³, Quader a·b·c, Kugel 4/3·π·r³, Zylinder π·r²·h, Kegel 1/3·π·r²·h, Pyramide 1/3·a²·h, Prisma G·h, Rohr π·(R² - r²)·h. Für Flächen der Grundformen gibt es den Flächenrechner, für die Umrechnung zwischen Litern, Gallonen und Kubikmetern den Volumen-Umrechner.
Wissenswertes zum Thema
Die Formeln und was dahintersteckt
Alle Volumenformeln folgen zwei Prinzipien. Das erste: Ein Körper mit gleichbleibendem Querschnitt, Würfel, Quader, Zylinder, Prisma, hat das Volumen Grundfläche mal Höhe, weil man ihn sich als Stapel dünner Scheiben vorstellen kann; Cavalieri bewies 1635, dass das auch für schiefe Körper gilt, solange die Scheiben gleich groß bleiben, ein schiefer Zylinder hat dasselbe Volumen wie ein gerader. Das zweite: Ein Körper, der auf eine Spitze zuläuft, Kegel und Pyramide, hat ein Drittel davon, was Archimedes um 250 v. Chr. zeigte, indem er Kegel, Halbkugel und Zylinder mit gleichem Radius und gleicher Höhe verglich: Kegel 1, Halbkugel 2, Zylinder 3, und er ließ sich die Kugel im Zylinder auf den Grabstein meißeln. Die Kugelformel 4/3·π·r³ folgt daraus direkt, und ihre Oberfläche 4·π·r² ist die Ableitung des Volumens nach dem Radius, kein Zufall, sondern das Prinzip, dass eine dünne Schale aus Oberfläche mal Dicke besteht. Das Rohr ist der Zylinder minus das Loch, der Rechner nimmt Außen- und Innenradius; wer Durchmesser hat, halbiert. Das Prisma mit beliebiger Grundfläche verlangt die Grundfläche als Zahl, die man vorher mit dem Flächenrechner bestimmt, etwa für ein Dreiecksprisma oder ein Sechskantprofil. Die Oberflächen, die der Rechner mitliefert, braucht man für Farbe, Folie und Blech. Für die Grundflächen gibt es den Flächenrechner.
Einheiten: Kubikzentimeter, Liter, Kubikmeter, Kilogramm
Der Rechner rechnet einheitenfrei, das Ergebnis hat die Einheit der Eingabe hoch drei: Zentimeter ergeben Kubikzentimeter, Meter Kubikmeter, und die Umrechnung ist der klassische Fehler, weil 1 Meter 100 Zentimeter sind, 1 Kubikmeter aber 1.000.000 Kubikzentimeter, der Faktor geht hoch drei. Die Zeilen Liter und Kubikmeter im Ergebnis nehmen an, dass in Zentimetern eingegeben wurde, 904,78 cm³ sind 0,905 Liter und 0,000905 m³; wer in Metern rechnet, liest das Volumen direkt als Kubikmeter und multipliziert für Liter mit 1.000. Das Gewicht als Wasser nutzt die Dichte 1 Kilogramm je Liter, was für Regentonne, Pool, Aquarium und Badewanne stimmt; für anderes Material multipliziert man mit der Dichte, Beton 2,4, Stahl 7,85, Holz 0,5 bis 0,8, Öl 0,9, Luft 0,0012 Kilogramm je Liter. Ein Pool mit 8 mal 4 Metern und 1,5 Metern Tiefe hat 48 Kubikmeter, also 48.000 Liter und 48 Tonnen Wasser, ein Aquarium mit 100 mal 40 mal 50 Zentimetern 200 Liter, ein Ballon als Kugel mit 15 Zentimetern Radius 14 Liter. Beim Rohr ist das Volumen der Wandung gefragt, wenn man Stahlgewicht rechnet, und das Volumen des Hohlraums, wenn es um Wasser geht; der Rechner gibt die Wandung, für den Hohlraum nimmt man den Zylinder mit dem Innenradius. Was Liter in Gallonen und Kubikfuß sind, zeigt der Volumen-Umrechner.
Wo man das Volumen braucht
Im Alltag taucht die Frage bei allem auf, was gefüllt, gegossen oder transportiert wird. Beton für ein Fundament ist ein Quader, 6 mal 0,4 mal 0,8 Meter gleich 1,92 Kubikmeter, mal 2,4 sind 4,6 Tonnen, was die Zahl der Säcke oder die Fahrmischer-Bestellung ergibt; Erde für ein Hochbeet, Sand für den Sandkasten, Kies fürs Beet, Wasser für den Pool, Luft für die Klimaanlage im Raum, Heizöl im zylindrischen Tank, Holz im Stapel, der als Raummeter ein Quader ist, Bierfass und Weinfass, die man als Zylinder nähert. Im Versand zählt das Volumengewicht, Länge mal Breite mal Höhe in Zentimetern geteilt durch 5.000 oder 6.000, und ein leichtes großes Paket wird nach Volumen berechnet, nicht nach Gewicht. In der Schule kommt das Volumen in Klasse 6 mit Quader und Würfel, in Klasse 9 und 10 mit Zylinder, Kegel, Pyramide und Kugel, und in der Oberstufe als Rotationskörper über das Integral, das genau diese Formeln liefert. Typische Fehler: Durchmesser statt Radius einsetzen, was den Faktor 4 beim Zylinder und 8 bei der Kugel ausmacht; den Drittel bei Kegel und Pyramide vergessen; und Höhe mit Mantellinie verwechseln, beim Kegel ist die Höhe senkrecht, die Mantellinie schräg. Für Schüttgüter wie Kies und Sand mit Tonnen statt Litern gibt es den Kies-Rechner.
Ein Stück Geschichte: Archimedes, das Fass und das Liter
Die Volumenrechnung begann mit Gefäßen: Die Ägypter kannten um 1850 v. Chr. die Formel für den Pyramidenstumpf, im Papyrus Moskau, und die Babylonier rechneten Zylinder mit Pi gleich 3. Archimedes bewies die Kugelformel um 250 v. Chr. und fand beim Baden heraus, dass ein eingetauchter Körper so viel Wasser verdrängt, wie er Volumen hat, der Weg, mit dem er die Goldkrone des Königs Hieron prüfte und der bis heute für unregelmäßige Körper gilt: Messbecher, eintauchen, ablesen. Kepler schrieb 1615 die "Stereometrie der Weinfässer", weil ihn der Weinhändler in Linz mit einem Messstab abgefertigt hatte, der schräg ins Fass ging, und entwickelte dabei Vorstufen der Integralrechnung; Cavalieris Prinzip folgte 1635, Newton und Leibniz das Integral. Das Liter definierte die Französische Revolution 1795 als Kubikdezimeter, das Kilogramm als Masse eines Liters Wasser bei 4 Grad, weshalb Volumen und Gewicht im metrischen System so bequem zusammenpassen; das Fass als Einheit, 158,99 Liter beim Ölbarrel, und die Gallone, 3,785 Liter in den USA, 4,546 in Großbritannien, sind die Reste der alten Welt. Der Rechner rechnet mit Archimedes und gibt in Litern aus, wie es die Revolution wollte.
Praktische Tipps
Geben Sie alle Maße in derselben Einheit ein, am besten in Zentimetern, dann stimmen die Zeilen für Liter und Kilogramm direkt. Halbieren Sie Durchmesser zum Radius, bevor Sie eintragen. Messen Sie beim Kegel die senkrechte Höhe, nicht die schräge Seite. Nehmen Sie bei Gefäßen die Innenmaße, die Wandstärke frisst bei kleinen Behältern 10 Prozent. Multiplizieren Sie das Wassergewicht mit der Dichte für Beton, Erde oder Stahl. Rechnen Sie Bestellmengen für Beton und Erde mit 10 Prozent Zuschlag für Verdichtung und Verlust. Und prüfen Sie Zehnerpotenzen bei der Umrechnung in Kubikmeter, der Faktor ist eine Million, nicht hundert. Für die Fläche, die eine Oberfläche an Farbe oder Fliesen braucht, hilft der Flächenrechner.
Häufige Fragen
Wie berechnet man das Volumen einer Kugel?
Mit 4/3 · π · r³. Eine Kugel mit 6 cm Radius hat 4/3 · 3,1416 · 216 = 904,78 cm³, also 0,905 Liter. Die Oberfläche ist 4 · π · r² = 452,39 cm². Bei Angabe des Durchmessers vorher halbieren, sonst ist das Ergebnis achtmal zu groß.
Wie berechnet man das Volumen eines Zylinders?
Grundfläche mal Höhe: π · r² · h. Ein Zylinder mit 4 cm Radius und 10 cm Höhe hat 3,1416 · 16 · 10 = 502,65 cm³, also 0,503 Liter. Für Regentonnen, Dosen und Rohre dieselbe Formel, beim Rohr Außen- minus Innenzylinder.
Wie berechnet man das Volumen eines Kegels oder einer Pyramide?
Ein Drittel von Grundfläche mal Höhe: Kegel 1/3 · π · r² · h, quadratische Pyramide 1/3 · a² · h. Ein Kegel mit 4 cm Radius und 10 cm Höhe hat 167,55 cm³, ein Drittel des gleich großen Zylinders. Die Höhe ist die senkrechte, nicht die schräge Mantellinie.
Wie rechne ich Kubikzentimeter in Liter um?
1.000 cm³ sind 1 Liter, 1 Liter ist 1 dm³, 1.000 Liter sind 1 m³. 904,78 cm³ sind 0,905 Liter. Von Kubikzentimetern zu Kubikmetern ist der Faktor eine Million, nicht hundert, weil die Einheit hoch drei geht.
Wie viel wiegt das Volumen?
Als Wasser 1 Kilogramm je Liter: 502,65 cm³ wiegen 0,503 kg. Für andere Stoffe mit der Dichte multiplizieren: Beton 2,4, Stahl 7,85, Holz 0,5 bis 0,8, Öl 0,9 kg je Liter. Ein Kubikmeter Beton wiegt also 2,4 Tonnen.
Wie viel Liter passen in meinen Pool?
Länge mal Breite mal Tiefe in Metern ergibt Kubikmeter, mal 1.000 Liter. 8 × 4 × 1,5 Meter sind 48 m³, also 48.000 Liter und 48 Tonnen Wasser. Runde Pools als Zylinder mit π · r² · h rechnen.
Was ist der Unterschied zwischen Volumen und Oberfläche?
Das Volumen ist der Rauminhalt in Kubikeinheiten, die Oberfläche die Außenhaut in Quadrateinheiten. Für Füllmengen braucht man das Volumen, für Farbe, Folie oder Blech die Oberfläche. Der Rechner zeigt beide, bei der Kugel 904,78 cm³ und 452,39 cm².
Wie berechne ich das Volumen eines unregelmäßigen Körpers?
Nach Archimedes durch Eintauchen: Messbecher mit Wasser füllen, Körper hinein, den Anstieg in Millilitern ablesen, das ist das Volumen in cm³. Oder den Körper in Quader, Zylinder und Kegel zerlegen und die Teile addieren.