Quadratische Gleichung lösen

So funktioniert der Quadratische Gleichung lösen

Der Rechner löst jede quadratische Gleichung der Form ax² + bx + c = 0: Sie tragen a, b und c ein, auch negativ oder als Dezimalzahl, und bekommen die Lösungen mit der Mitternachtsformel, die Diskriminante, die verrät, wie viele Lösungen es gibt, den Scheitelpunkt der Parabel, die Normalform für die p-q-Formel und als Probe den Satz von Vieta. Bei a = 0 erkennt er die lineare Gleichung, bei negativer Diskriminante nennt er die komplexen Lösungen.

Merksatz: x gleich minus b plus minus Wurzel aus b Quadrat minus 4ac, alles durch 2a. Die Eselsbrücke heißt so, weil man sie um Mitternacht geweckt aufsagen können soll. Für die Diskriminante: positiv zwei Lösungen, null eine, negativ keine reelle. Wer eine quadratische Gleichung lösen will, bringt sie also zuerst auf die Form mit null rechts.

Drei Beispiele:

• 2x² + 4x - 6 = 0: Diskriminante 16 + 48 = 64, Wurzel 8, Lösungen x₁ = -3 und x₂ = 1. Normalform x² + 2x - 3 = 0, Scheitelpunkt (-1 | -8), Vieta: Summe -2, Produkt -3.
• x² - 4x + 4 = 0: Diskriminante 0, genau eine Lösung x = 2, die Parabel berührt die x-Achse im Scheitelpunkt (2 | 0). Das ist (x - 2)², die zweite binomische Formel.
• x² + 2x + 5 = 0: Diskriminante -16, keine reelle Lösung, die Parabel liegt mit Scheitel (-1 | 4) oberhalb der Achse; komplex wäre x = -1 ± 2i.

Die Formeln: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, D = b² - 4ac, Scheitelpunkt bei x = -b / 2a, p-q-Formel nach Division durch a: x = -p/2 ± √((p/2)² - q). Vieta als Probe: x₁ + x₂ = -p, x₁ · x₂ = q. Für Gleichungen höheren Grades gibt es den Nullstellen-Rechner, für die Wurzel allein den Wurzelrechner.

Wissenswertes zum Thema

Mitternachtsformel oder p-q-Formel

Beide Formeln lösen dieselbe Gleichung, sie unterscheiden sich nur darin, ob man vorher durch a teilt. Die Mitternachtsformel, in Süddeutschland und Österreich die "große Lösungsformel", nimmt a, b und c direkt; die p-q-Formel, in Norddeutschland verbreitet, braucht die Normalform x² + px + q = 0, also nach Division durch a, und lautet x = -p/2 ± Wurzel aus (p/2)² - q. Bei 2x² + 4x - 6 = 0 wird daraus x² + 2x - 3 = 0, p = 2, q = -3, x = -1 ± Wurzel aus 1 + 3 = -1 ± 2, also -3 und 1, dasselbe Ergebnis. Die p-q-Formel ist schneller, wenn a schon 1 ist, die Mitternachtsformel vermeidet Brüche, wenn a nicht 1 ist, und der Rechner zeigt beide Wege, weil Lehrkräfte die eine oder andere verlangen. Vor der Formel kommt immer das Umstellen: Alles auf eine Seite, null auf die andere, Terme zusammenfassen, und bei 3x² = 12 braucht man keine Formel, Wurzelziehen reicht, x = ±2, ebenso bei x² - 5x = 0, wo Ausklammern x(x - 5) die Lösungen 0 und 5 sofort liefert. Die Formel ist das Werkzeug für den allgemeinen Fall, nicht für jeden Fall. Was dahintersteckt, ist die quadratische Ergänzung: Man macht aus x² + px ein vollständiges Quadrat (x + p/2)² und zieht die Wurzel.

Diskriminante, Scheitelpunkt, Vieta

Die Diskriminante D = b² - 4ac ist der Ausdruck unter der Wurzel und entscheidet alles: Ist sie positiv, gibt es zwei Lösungen, die Parabel schneidet die x-Achse zweimal; ist sie null, fällt die Wurzel weg, es gibt eine doppelte Lösung, die Parabel berührt die Achse im Scheitel; ist sie negativ, gibt es keine reelle Lösung, weil man aus negativen Zahlen keine reelle Wurzel ziehen kann, und die Parabel liegt ganz über oder ganz unter der Achse. Der Rechner gibt für diesen Fall die komplexen Lösungen an, die in der Oberstufe und im Studium vorkommen. Der Scheitelpunkt liegt bei x = -b/2a, genau in der Mitte zwischen den Lösungen, und sein y-Wert sagt, wie weit die Parabel über oder unter der Achse liegt; ob sie nach oben oder unten öffnet, entscheidet das Vorzeichen von a. Der Satz von Vieta ist die beste Probe: In der Normalform ist die Summe der Lösungen -p und ihr Produkt q, bei x² + 2x - 3 also -3 + 1 = -2 und -3 · 1 = -3, und wer das im Kopf prüft, findet Rechenfehler, bevor sie Punkte kosten. Vieta hilft auch rückwärts, beim Raten ganzzahliger Lösungen: Gesucht sind zwei Zahlen mit Produkt q und Summe -p. Wie die Parabel als Funktion aussieht, mit Nullstellen und Extrempunkt, zeigt der Nullstellen-Rechner.

Wo quadratische Gleichungen vorkommen

Die Schulaufgaben, die auf quadratische Gleichungen führen, sind oft verkleidet: Ein Rechteck mit Umfang 20 und Fläche 24 hat Seiten, die x(10 - x) = 24 erfüllen, also x² - 10x + 24 = 0 mit den Lösungen 4 und 6. Ein Ball, der mit 20 Metern je Sekunde nach oben geworfen wird, hat die Höhe h = 20t - 5t², und h = 0 liefert die Flugzeit 4 Sekunden, h = 15 die beiden Zeitpunkte 1 und 3, zu denen er 15 Meter hoch ist. Der Bremsweg wächst quadratisch mit der Geschwindigkeit, der Luftwiderstand ebenfalls, Zinseszins über zwei Jahre ist eine quadratische Gleichung im Zinsfaktor, und der goldene Schnitt ist die Lösung von x² - x - 1 = 0, nämlich 1,618. In der Wirtschaft führt die Gewinnmaximierung bei quadratischen Kostenfunktionen auf sie, in der Physik jede gleichmäßig beschleunigte Bewegung, in der Geometrie der Satz des Pythagoras, sobald eine Seite unbekannt ist. Die Diskriminante taucht dann als Frage auf, ob es überhaupt eine Lösung gibt: Erreicht der Ball 25 Meter? 20t - 5t² = 25 hat D = 400 - 500 kleiner null, also nein, der Scheitel liegt bei 20 Metern. Was Wurzeln aus Zahlen ohne glatten Wert ergeben, zeigt der Wurzelrechner.

Ein Stück Geschichte: Von Babylon bis Brahmagupta

Quadratische Gleichungen sind viertausend Jahre alt: Babylonische Keilschrifttafeln um 1800 v. Chr. enthalten Aufgaben wie "Fläche plus Seite ist 0,75, wie lang ist die Seite", gelöst mit einem Rezept, das genau der quadratischen Ergänzung entspricht, nur in Worten und ohne negative Zahlen. Euklid löste sie um 300 v. Chr. geometrisch, Brahmagupta in Indien schrieb 628 als Erster eine allgemeine Formel mit negativen Lösungen auf, und al-Chwarizmi in Bagdad gab um 820 in seinem Buch "al-dschabr", von dem das Wort Algebra stammt, sechs Typen quadratischer Gleichungen mit geometrischen Beweisen, alle ohne Symbole. Die Formelschreibweise mit Buchstaben führte François Viète um 1590 ein, dessen Wurzelsätze der Rechner als Probe nutzt, und René Descartes 1637 die Konvention, dass a, b, c Konstanten und x, y Unbekannte sind. Der Name Mitternachtsformel stammt aus der deutschen Schulsprache des 20. Jahrhunderts, die p-q-Formel ist eine norddeutsche Spezialität, die es im Ausland so nicht gibt; dort heißt alles "quadratic formula". Komplexe Lösungen rechnete man seit Cardano 1545, verstand sie aber erst mit Gauß um 1800.

Praktische Tipps

Bringen Sie die Gleichung zuerst auf die Form ax² + bx + c = 0, mit allem auf einer Seite, und lesen Sie a, b und c mit Vorzeichen ab, das Minus vor c ist der häufigste Fehler. Prüfen Sie vor der Formel, ob Ausklammern oder Wurzelziehen reicht. Rechnen Sie die Diskriminante zuerst aus, sie sagt Ihnen, wie viele Lösungen zu erwarten sind, und ein negativer Wert bei einer Textaufgabe heißt oft, dass die Situation unmöglich ist. Machen Sie die Vieta-Probe im Kopf. Geben Sie die Lösungen in der Reihenfolge an, die die Aufgabe verlangt, und prüfen Sie bei Textaufgaben, ob beide Lösungen sinnvoll sind, negative Längen und Zeiten sind es nicht. Und schreiben Sie in der Klausur den Rechenweg des Rechners nach, Formel, Diskriminante, Einsetzen, Ergebnis, das sind die vier Zeilen, die Punkte bringen. Für Potenzen und Wurzeln mit beliebigen Exponenten gibt es den Potenzrechner.