Satz-des-Pythagoras-Rechner

So funktioniert der Satz-des-Pythagoras-Rechner

Der Pythagoras-Rechner hat drei Kästen für den Satz des Pythagoras: Aus zwei Katheten die Hypotenuse, aus Hypotenuse und einer Kathete die fehlende Kathete, und die Prüfung, ob ein Dreieck mit drei gegebenen Seiten rechtwinklig ist, spitz oder stumpf. Jeder Kasten zeigt die Quadrate der Seiten, die Summe und die Wurzel, der erste zusätzlich die Fläche des Dreiecks, der dritte, welcher Seite der rechte Winkel gegenüberliegt.

Merksatz: a² + b² = c², und c ist immer die längste Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Die Eselsbrücke für die Baustelle: 3-4-5, drei Meter an der einen Wand, vier an der anderen, fünf dazwischen, dann ist die Ecke rechtwinklig, und das klappt mit 60-80-100 Zentimetern genauso wie mit 6-8-10 Metern.

Drei Beispiele:

• Katheten 1,5 und 2: 2,25 + 4 = 6,25, Wurzel 2,5, Fläche 1,5; Katheten 3 und 4 ergeben 5, Fläche 6.
• Hypotenuse 13, Kathete 5: 169 - 25 = 144, Wurzel 12; Hypotenuse 5 und Kathete 4 ergeben 3.
• Dreieck 60, 80, 100 cm: 3.600 + 6.400 = 10.000 = 100², rechtwinklig, der rechte Winkel liegt der 100 gegenüber; mit 95 statt 100 wären es 9.025, kleiner als 10.000, also spitzwinklig.

Formeln: c = √(a² + b²), a = √(c² - b²), rechtwinklig, wenn a² + b² = c²; spitz, wenn kleiner; stumpf, wenn größer, Fläche = a × b / 2. Die Wurzel am Ende zieht der Wurzelrechner, Flächen anderer Dreiecke der Flächenrechner.

Wissenswertes zum Thema

Der Satz, sein Beweis und seine Umkehrung

Im rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den Katheten, das ist der Satz, und er gilt nur dort; bei anderen Dreiecken gilt der Kosinussatz, c² = a² + b² - 2ab·cos γ, der für 90 Grad zum Pythagoras wird, weil der Kosinus dann null ist. Von den über 400 bekannten Beweisen ist der einfachste der mit den vier Dreiecken: Ein großes Quadrat mit Seite a + b, darin vier Kopien des Dreiecks, die ein schiefes Quadrat mit Seite c freilassen, und der Flächenvergleich (a + b)² = 4 × ab/2 + c² ergibt nach Ausmultiplizieren a² + b² = c². Die Umkehrung ist das, was der dritte Kasten prüft: Gilt a² + b² = c² für die längste Seite c, ist der Winkel gegenüber von c ein rechter, und gilt es nicht, sagt der Vergleich, ob er spitz oder stumpf ist; 60, 80 und 95 geben 10.000 gegen 9.025, die Hypotenuse ist zu kurz für den rechten Winkel, der Winkel ist kleiner als 90 Grad. Pythagoreische Tripel sind ganzzahlige Lösungen, 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 und alle Vielfachen, 6-8-10, 60-80-100, und sie sind der Grund, warum Schulaufgaben so oft glatt aufgehen; Euklid gab eine Formel für alle, m² - n², 2mn, m² + n². Den Winkel selbst liefert dann die Trigonometrie, tan α = a/b, und der Rechner bleibt bei den Seiten. Was Sinus und Kosinus mit den Katheten machen, rechnet der Taschenrechner mit den Winkelfunktionen.

Pythagoras im Alltag: Baustelle, Bildschirm, Leiter

Die 3-4-5-Regel ist das Werkzeug jedes Maurers, Zimmermanns und Gartenbauers, um einen rechten Winkel ohne Winkelmesser abzustecken: Von der Ecke 3 Einheiten an der einen Schnur, 4 an der anderen, und die Diagonale muss 5 messen, bei Terrassen mit 1,5 und 2 Metern 2,5, bei Fundamenten mit 6 und 8 Metern 10; der Rechner prüft jede Variante. Die Diagonale eines Rechtecks ist die zweite Alltagsanwendung: Ein Bildschirm mit 59,8 mal 33,6 Zentimetern hat 68,6 Zentimeter Diagonale, 27 Zoll; ein Raum mit 5 mal 4 Metern 6,4 Meter Diagonale, die Länge, die das Regal beim Aufrichten braucht; ein Grundstück mit 25 mal 32 Metern 40,6 Meter für die Messung der Rechtwinkligkeit, beide Diagonalen müssen gleich sein. Die Leiter: 5 Meter lang, Fuß 1,5 Meter von der Wand, reicht 4,77 Meter hoch, und die sichere Neigung liegt bei einem Viertel der Länge als Abstand, das ist die 4-zu-1-Regel. Die Luftlinie zwischen zwei Punkten, in der Ebene aus Ost- und Nordabstand, in der Navigation auf kurze Strecken, im Koordinatensystem als Abstand zweier Punkte, in der 3D-Grafik mit drei Katheten, und die Wechselstromlehre, wo Wirk- und Blindleistung als Katheten die Scheinleistung als Hypotenuse ergeben. Die Fläche des Dreiecks, a mal b durch 2, kommt bei Giebeln, Dachflächen und Grundstücksresten vor, und der Flächenrechner liefert sie für alle Formen. Wie lang die Dachsparren bei gegebener Höhe und halber Breite sind, ist Pythagoras pur, den Materialbedarf rechnet der Laminat-Rechner aus der Fläche.

Rechnen von Hand und die typischen Fehler

Der erste Fehler ist die Verwechslung der Seiten: Die Hypotenuse ist immer die längste und liegt gegenüber dem rechten Winkel, und wer die Kathete sucht, muss subtrahieren, c² - b², nicht addieren; 13 und 5 geben 144 unter der Wurzel, 12, nicht 194. Der zweite ist das Weglassen der Wurzel, 25 ist c², nicht c. Der dritte ist das Rechnen mit Winkeln, die keine 90 Grad haben, dafür gibt es den Kosinussatz. Der vierte sind Einheiten, alle Seiten in derselben, Zentimeter oder Meter. Von Hand: Quadrieren, addieren oder subtrahieren, Wurzel ziehen, wobei die Wurzel aus 6,25 mit 2,5 glatt aufgeht und die aus 20, bei Katheten 2 und 4, nicht, 4,472; die Quadratzahlen bis 25 im Kopf helfen, und Heron-Verfahren oder Taschenrechner für den Rest. Pythagoreische Tripel erkennt man daran, dass beide Katheten und die Hypotenuse ganzzahlig sind, und in Klausuren sind sie die Regel, 6-8-10, 9-12-15, 5-12-13, 8-15-17. In Textaufgaben versteckt sich der Satz hinter "senkrecht", "Lot", "Diagonale", "Luftlinie" und "Abstand", und die Skizze mit dem rechten Winkel ist der erste Schritt. Die Wurzel aus krummen Zahlen zieht der Wurzelrechner mit sechs Stellen.

Ein Stück Geschichte: Babylon kannte ihn, Pythagoras bekam den Namen

Die Tontafel Plimpton 322 aus Babylon, um 1800 v. Chr., listet fünfzehn pythagoreische Tripel, darunter 3-4-5 und 4601-4800-6649, über tausend Jahre bevor Pythagoras geboren wurde; die Ägypter spannten Seile mit zwölf gleichen Abschnitten zum 3-4-5-Dreieck, um nach jeder Nilflut rechte Winkel für Felder und Tempel abzustecken, die "Seilspanner", und in Indien beschreiben die Sulbasutras um 800 v. Chr. den Satz für den Altarbau. Pythagoras von Samos, der um 530 v. Chr. in Unteritalien eine Schule gründete, hat den Satz vermutlich nicht entdeckt, aber seine Schule gab ihm den ersten Beweis, und die Legende von Hekatombe, hundert Ochsen zum Dank, stammt aus späteren Jahrhunderten; den strengen Beweis, den Schüler bis heute lernen, schrieb Euklid um 300 v. Chr. als Satz 47 im ersten Buch der Elemente, mit der Umkehrung als Satz 48. In China stand der Satz als "Gougu" im Zhoubi Suanjing, und der Beweis mit den vier Dreiecken findet sich dort als Bild. Der amerikanische Präsident James Garfield veröffentlichte 1876 einen eigenen Beweis mit einem Trapez, Einstein fand als Zwölfjähriger einen über ähnliche Dreiecke, und Elisha Loomis sammelte 1927 in "The Pythagorean Proposition" 370 Beweise. Der Rechner rechnet den Satz, den die Seilspanner mit zwölf Knoten prüften.

Praktische Tipps

Zeichnen Sie das Dreieck und markieren Sie den rechten Winkel, bevor Sie rechnen, dann ist die Hypotenuse klar. Addieren Sie für die Hypotenuse, subtrahieren Sie für die Kathete. Nutzen Sie 3-4-5 auf der Baustelle mit möglichst großen Einheiten, 3-4-5 Meter sind genauer als Zentimeter. Messen Sie Rechtecke über beide Diagonalen, gleich lang heißt rechtwinklig. Stellen Sie Leitern mit einem Viertel der Länge Abstand auf. Merken Sie sich die Tripel 3-4-5, 5-12-13 und 8-15-17 für Klausuren. Und ziehen Sie die Wurzel am Ende, nicht vorher. Für die Winkel des Dreiecks aus den Seiten nutzen Sie die Winkelfunktionen im Taschenrechner.