Freier-Fall-Rechner

So funktioniert der Freier-Fall-Rechner

Der Freier-Fall-Rechner rechnet die drei Grundaufgaben der Mechanik aus dem Physikunterricht. Der erste Kasten ist der freie Fall: Aus der Höhe folgen Fallzeit und Aufprallgeschwindigkeit, aus der Zeit die Höhe, aus der Geschwindigkeit beides, mit g = 9,81 m/s² und einer Vergleichstabelle für die ersten Sekunden. Der zweite Kasten ist der senkrechte Wurf nach oben: Steighöhe, Steigzeit, Gesamtflugzeit und Auftreffgeschwindigkeit aus Abwurfgeschwindigkeit und Abwurfhöhe. Der dritte Kasten ist der schiefe Wurf: Wurfweite, Gipfelhöhe, Flugzeit und der optimale Abwurfwinkel, dazu eine Tabelle für 15 bis 75 Grad. Alle drei rechnen ohne Luftwiderstand, wie es die Schulformeln tun.

Drei Beispiele:

• Freier Fall aus 20 Metern (etwa siebter Stock): Fallzeit 2,02 Sekunden, Aufprall mit 19,81 m/s = 71,3 km/h, unabhängig von der Masse. Nach einer Sekunde sind es 4,9 m und 35 km/h, nach drei Sekunden 44,1 m und 106 km/h; wer 3 Sekunden fällt, stürzt also aus 44 Metern.
• Senkrechter Wurf mit 15 m/s aus 1,5 m Höhe: Steighöhe 11,47 m nach 1,53 s, höchster Punkt 12,97 m über dem Boden, Fallzeit 1,63 s, Gesamtflugzeit 3,16 s, Aufprall mit 15,95 m/s. Mit 30 m/s vom Boden aus: 45,87 m hoch, 6,12 s in der Luft.
• Schiefer Wurf mit 20 m/s unter 45 Grad: 40,8 m weit, 10,2 m hoch, 2,88 s Flugzeit; 30 und 60 Grad bringen beide 35,3 m. Mit 30 m/s unter 35 Grad aus 2 m Höhe (Kugelstoßen): 89 m, der optimale Winkel liegt wegen der Abwurfhöhe bei 44 Grad mit 93,7 m.

Formeln: h = ½ g t², t = √(2h/g), v = g t = √(2gh) für den freien Fall; Steighöhe h = v₀² / (2g) und Steigzeit t = v₀ / g für den senkrechten Wurf; beim schiefen Wurf Weite = v₀² × sin(2α) / g bei gleicher Abwurf- und Landehöhe. Die Erdbeschleunigung beträgt in Deutschland 9,81 m/s² (am Äquator 9,78, an den Polen 9,83). Den Bremsweg eines Autos aus der Geschwindigkeit rechnet der Bremsweg-Rechner, die Umrechnung von m/s in km/h der Geschwindigkeits-Umrechner, Durchschnittsgeschwindigkeit und Fahrzeit der Durchschnittsgeschwindigkeits-Rechner, Winkel und Seiten im Dreieck der Trigonometrie-Rechner und Potenzen und Wurzeln der Wurzel-Rechner.

Wissenswertes zum Thema

Freier Fall: Alle Körper fallen gleich schnell

Im freien Fall wirkt nur die Schwerkraft, und sie beschleunigt jeden Körper gleich: um 9,81 Meter pro Sekunde in jeder Sekunde, unabhängig von Masse und Material. Eine Bleikugel und eine Feder fallen im Vakuum nebeneinander, wie es die Astronauten von Apollo 15 auf dem Mond mit Hammer und Falkenfeder vorführten. Die Fallstrecke wächst mit dem Quadrat der Zeit (h = ½ g t²): nach einer Sekunde 4,9 Meter, nach zwei 19,6, nach drei 44,1, nach vier 78,5 Meter; die Geschwindigkeit wächst linear, 9,81 m/s je Sekunde, also rund 35 km/h je Sekunde. Daraus folgt die Umkehrung: Die Fallzeit ist die Wurzel aus 2h/g, und die Aufprallgeschwindigkeit die Wurzel aus 2gh. Ein Sturz aus 1 Meter endet mit 16 km/h, aus 3 Metern mit 28 km/h, aus 10 Metern mit 50 km/h, aus 20 Metern mit 71 km/h, und weil die Energie mit dem Quadrat der Geschwindigkeit wächst, ist ein Sturz aus 4 Metern viermal so hart wie einer aus einem Meter. Die Erdbeschleunigung ist nicht überall gleich: 9,78 m/s² am Äquator, 9,83 an den Polen, in Deutschland 9,81; auf dem Mond 1,62, auf dem Mars 3,71, auf dem Jupiter 24,8 m/s².

Luftwiderstand: Was die Schulformel weglässt

In der Wirklichkeit bremst die Luft, und zwar umso mehr, je schneller der Körper wird, weil der Widerstand mit dem Quadrat der Geschwindigkeit wächst. Irgendwann halten sich Gewicht und Luftwiderstand die Waage, der Körper fällt mit konstanter Endgeschwindigkeit: ein Mensch in Bauchlage mit rund 200 km/h nach etwa 12 Sekunden und 450 Metern, ein Fallschirmspringer kopfüber mit über 300, ein Regentropfen mit 20 bis 30, ein Hagelkorn mit 50 bis 100, ein Tennisball mit 100, eine Pistolenkugel mit 100 bis 150 km/h. Für die ersten ein bis zwei Sekunden und kompakte Körper stimmen die Schulformeln auf wenige Prozent; ab drei Sekunden, bei leichten oder flachen Gegenständen (Blatt, Federball, Münze auf der Kante) weichen sie deutlich ab. Der berühmte Groschen vom Wolkenkratzer ist deshalb harmlos: Er erreicht nach wenigen Metern seine Endgeschwindigkeit von rund 50 km/h und trudelt. Ein senkrecht in die Luft geschossenes Projektil kommt wegen des Luftwiderstands viel langsamer zurück, als es abgeschossen wurde, aber mit 100 km/h immer noch tödlich, weshalb Freudenschüsse jedes Jahr Menschen verletzen.

Würfe: Warum 45 Grad nicht immer am weitesten fliegen

Der schiefe Wurf zerlegt sich in eine gleichförmige waagerechte Bewegung mit v₀ × cos α und eine senkrechte mit v₀ × sin α, die der Schwerkraft folgt; die Bahn ist eine Parabel, was Galilei als Erster erkannte. Bei gleicher Abwurf- und Landehöhe ist die Weite v₀² × sin(2α) / g, maximal bei 45 Grad, und Winkel, die sich zu 90 Grad ergänzen (30 und 60, 15 und 75), tragen gleich weit, einmal flach und schnell, einmal hoch und langsam. Wird aus einer Höhe geworfen, wie beim Kugelstoßen aus 2 Metern, sinkt der optimale Winkel unter 45 Grad, bei 13 m/s auf rund 42 Grad; Kugelstoßer stoßen mit 37 bis 40 Grad, weil sie flach mehr Kraft entwickeln. Mit Luftwiderstand sinkt der beste Winkel weiter: Speerwerfer werfen mit 32 bis 36 Grad, Golfer schlagen mit 10 bis 15 Grad ab und lassen den Rückdrall tragen, Fußballer schießen einen Abschlag mit 30 bis 40 Grad. Der senkrechte Wurf ist der Sonderfall mit 90 Grad: Steigzeit und Fallzeit sind gleich, die Rückkehrgeschwindigkeit gleich der Abwurfgeschwindigkeit, solange Abwurf- und Landehöhe übereinstimmen.

Ein Stück Geschichte

Aristoteles lehrte, schwere Körper fielen schneller als leichte, und zwar proportional zum Gewicht; zwei Jahrtausende lang wurde das kaum geprüft. Galileo Galilei widerlegte es um 1600 in Pisa mit Experimenten an der schiefen Ebene, auf der die Bewegung langsam genug war, um sie mit Wassertropfen und Pulsschlag zu messen, und fand das Quadratgesetz der Fallstrecke; die Legende vom Turmwurf in Pisa ist wohl erfunden, das Ergebnis nicht. Isaac Newton gab 1687 mit dem Gravitationsgesetz die Begründung, und die Erdbeschleunigung wurde mit Pendeln auf Prozentbruchteile bestimmt. Der Wert 9,80665 m/s² ist seit 1901 als Normfallbeschleunigung festgelegt, für die Definition des Kilopond. Dass alle Körper gleich fallen, das Äquivalenzprinzip, machte Einstein 1907 zum Ausgangspunkt der allgemeinen Relativitätstheorie; 2017 bestätigte der Satellit MICROSCOPE es auf 14 Stellen. Der höchste freie Fall eines Menschen: Alan Eustace sprang 2014 aus 41,4 Kilometern und erreichte 1.320 km/h, schneller als der Schall, weil die dünne Luft kaum bremst.

Praktische Tipps

Höhe schätzen: Stein fallen lassen, Sekunden zählen, quadrieren, mal fünf; bei Brunnen die Schalllaufzeit von 3 Sekunden je Kilometer abziehen. Rechnen Sie bei Stürzen und Sicherheitsfragen mit der Aufprallgeschwindigkeit in km/h, sie macht die Gefahr greifbar: Ein Sturz vom Hochbett aus 1,8 Metern endet mit 21 km/h. Beim Wurf im Sport zählt der Winkel weniger als die Abwurfgeschwindigkeit, die quadratisch eingeht; zehn Prozent mehr Tempo bringen 21 Prozent mehr Weite. Und misstrauen Sie Ergebnissen über drei Sekunden Fallzeit: Dann rechnet die Luft mit.