Zufallszahl-Generator

So funktioniert der Zufallszahl-Generator

Der Zufallszahl-Generator zieht eine oder mehrere Zufallszahlen aus einem Bereich, den Sie festlegen, 1 bis 100 für die Zahl zwischen eins und hundert, 1 bis 6 für den Würfel, 1 bis 49 für Lotto, 1 bis 200 für die Teilnehmer eines Gewinnspiels. Bei mehreren Zahlen zieht er ohne Zurücklegen, jede Zahl kommt höchstens einmal; verlangt man mehr Zahlen, als der Bereich hat, zum Beispiel 10 Würfe aus 1 bis 6, zieht er mit Wiederholung. Er zeigt die Ziehung in Reihenfolge, sortiert, die Summe, die Zahl der möglichen Werte und die Wahrscheinlichkeit je Zahl. Jede Änderung einer Eingabe oder ein Neuladen der Seite zieht neu, und alles passiert im Browser, nichts wird gespeichert.

Merksatz: Ohne Zurücklegen ist Lotto, mit Zurücklegen ist Würfeln, und der Rechner macht das Erste, solange die Anzahl in den Bereich passt, sonst das Zweite. Die Eselsbrücke für die Wahrscheinlichkeit: eins durch die Zahl der möglichen Werte, 1 Prozent bei 1 bis 100, 2,04 Prozent bei 49 Zahlen, und sechs Richtige im Lotto sind eins zu knapp 14 Millionen, egal welche sechs.

Drei Beispiele:

• Eine Zahl aus 1 bis 100: jede mit 1 Prozent, 100 mögliche Werte, etwa die 48.
• Lotto, 6 aus 1 bis 49: sechs verschiedene Zahlen, sortiert ausgegeben, Summe im Schnitt 150, jede Zahl mit 2,0408 Prozent je Ziehung dabei.
• Gewinnspiel mit 85 Teilnehmern, 3 Gewinner: von 1 bis 85 drei Zahlen ohne Wiederholung, die Nummern der Gewinner in der Reihenfolge der Ziehung.

Formeln: Wahrscheinlichkeit je Zahl = 1 / (bis - von + 1), Lotto 6 aus 49: 49 über 6 = 13.983.816 Kombinationen, Erwartungswert der Summe = n × (von + bis) / 2. Wer Wahrscheinlichkeiten in Prozent umrechnet, nimmt den Prozentrechner, wer Teiler und Primzahlen der gezogenen Zahlen wissen will, den Primzahl-Rechner.

Würfel online, Münzwurf und Losentscheid

Für den Spieleabend ohne Würfelbecher gibt es den Würfel online: ein bis zehn Würfel, vom klassischen W6 bis zum W100 der Rollenspieler. Der Rechner zeigt die Augen, die Summe und die Wahrscheinlichkeit des Wurfs; eine 7 mit zwei Würfeln hat 16,67 Prozent, ein Pasch ebenfalls, eine Sechs bei einem Wurf 16,7 Prozent. Der Münzwurf entscheidet Kopf oder Zahl, auf Wunsch als Serie von bis zu 1.000 Würfen mit Statistik, und der Losentscheid zieht aus einer Namensliste eine Person oder lost die komplette Reihenfolge aus, etwa für Haushaltsaufgaben, Referate oder die Startreihenfolge. Jede Zahl, jede Seite und jede Reihenfolge ist gleich wahrscheinlich, gespeichert wird nichts.

Wissenswertes zum Thema

Mit oder ohne Zurücklegen: Wann welche Ziehung

Ohne Zurücklegen heißt, dass eine gezogene Zahl nicht wieder in den Topf kommt: Lotto, die Auslosung von Startplätzen, die Reihenfolge einer Präsentation, die Gewinner eines Gewinnspiels, die Stichprobe von 20 aus 500 Rechnungen für die Prüfung, die Zufallsauswahl von Teilnehmern für eine Umfrage; der Rechner zieht so, solange die Anzahl nicht größer ist als der Bereich. Mit Zurücklegen ist jede Ziehung unabhängig und Wiederholungen sind möglich: Würfeln, Münzwurf, Roulette, die Simulation von Ereignissen; dafür verlangt man im Rechner mehr Zahlen, als der Bereich hat, 10 oder 20 Zahlen aus 1 bis 6, dann zieht er mit Wiederholung, bis zu 1.000 Ziehungen auf einmal, und die Summe zeigt, was zehn Würfel zusammen ergeben. Die Wahrscheinlichkeit je Zahl ist bei beiden Arten für die erste Ziehung gleich, 1 durch die Zahl der Werte; ohne Zurücklegen steigt sie bei jeder weiteren Ziehung, weil der Topf kleiner wird, 1/49, dann 1/48, dann 1/47. Für die Lottofrage, wie wahrscheinlich genau meine sechs Zahlen sind, zählt die Zahl aller möglichen Sechsergruppen, der Binomialkoeffizient 49 über 6, 13.983.816, und die Superzahl macht daraus 1 zu 139.838.160 für den Jackpot; drei Richtige haben etwa 1 zu 57, vier Richtige 1 zu 1.032. Jede Kombination ist gleich wahrscheinlich, auch 1, 2, 3, 4, 5, 6, nur teilen sich bei der die Gewinner den Topf mit tausenden anderen, die dasselbe getippt haben. Was ein Lottogewinn nach Jahren wert ist, rechnet der Zinseszinsrechner.

Wie der Computer würfelt: Pseudozufall und echter Zufall

Ein Computer kann nichts dem Zufall überlassen, er rechnet, und deshalb erzeugen die meisten Programme Pseudozufallszahlen: eine Formel, die aus einer Startzahl, dem Seed, eine Folge erzeugt, die zufällig aussieht, aber bei gleichem Seed immer gleich ist, was für Simulationen und Spiele reicht und für Lotto und Verschlüsselung nicht. Der Rechner nutzt den eingebauten Zufallsgenerator des Browsers, Math.random, einen schnellen Pseudozufallsgenerator mit einer Periode von Billionen Werten, der für Spiele, Auslosungen und Stichproben gleichverteilte Zahlen liefert, aber nicht für Verschlüsselung gedacht ist; dafür haben Browser eine eigene, kryptografisch sichere Quelle. Echte Zufallszahlen für Lotterien kommen aus physikalischen Geräten, der Ziehung mit Kugeln, dem radioaktiven Zerfall, dem Rauschen einer Diode oder Lavalampen, die Cloudflare filmt, um daraus Schlüssel zu machen. Die Prüfung, ob Zahlen zufällig sind, ist statistisch: Jede Zahl gleich häufig, keine Muster, keine Korrelation mit der vorigen, und menschliche Zufallszahlen fallen bei allen Tests durch, weil Menschen Wiederholungen vermeiden, die 7 bevorzugen und bei "Zahl zwischen 1 und 10" zu 28 Prozent die 7 sagen. Deshalb sind Lottozahlen, die Menschen tippen, nicht zufällig, sie häufen sich unter 31, den Geburtstagen, und in Mustern auf dem Schein, und wer ungewöhnliche Zahlen tippt, gewinnt nicht öfter, teilt aber seltener. Welche Passwörter aus demselben Zufall entstehen, erzeugt der Passwort-Generator.

Faire Auslosung: So nutzen Sie den Generator

Für eine Auslosung beim Gewinnspiel nummerieren Sie die Teilnehmer in der Reihenfolge des Eingangs, ziehen so viele Zahlen, wie es Gewinne gibt, und dokumentieren Bereich, Ziehung und Zeitpunkt mit einem Screenshot; die Reihenfolge der Ziehung bestimmt den ersten, zweiten, dritten Preis. Rechtlich gilt für Gewinnspiele die Pflicht zu klaren Teilnahmebedingungen, zur Gleichbehandlung und bei Werbung zur Trennung von Kauf und Gewinnchance, eine notarielle Ziehung ist nur bei großen Werten üblich. Für Klassenarbeiten und Referate zieht man die Reihenfolge, für Teams die Einteilung, indem man 1 bis 30 zieht und der Reihe nach zuteilt, für Umfragen eine Stichprobe aus der nummerierten Liste, was das statistische Verfahren der einfachen Zufallsstichprobe ist und besser als "jeden Zehnten", wenn die Liste sortiert ist. Für Entscheidungen, Münzwurf mit 1 bis 2, Würfel mit 1 bis 6, Restaurantwahl mit 1 bis 5, und für Spiele die Startreihenfolge. Was der Generator nicht ist: ein Orakel für Lottozahlen, denn gezogene Zahlen sind nicht wahrscheinlicher als andere, und keine Quelle für Verschlüsselung, dafür gibt es Werkzeuge, die mehr Bits liefern. Wer die Wahrscheinlichkeit für mehrere Treffer braucht, rechnet mit dem Binomialkoeffizienten, den der Potenzrechner nicht hat, der Taschenrechner über die Fakultät schon. Was 6 aus 49 an Kombinationen ergibt, zeigt der Taschenrechner mit der Eingabe 49!/(6!*43!).

Ein Stück Geschichte: Würfel, Lostrommel und RAND

Der Würfel ist über 5.000 Jahre alt, Astragale, Sprungbeine von Schafen, dienten als Losinstrument in Mesopotamien, und das Los entschied in Athen, wer ins Amt kam, in Rom, wer die Provinz bekam, und in der Bibel, wer Jonas über Bord warf. Die erste Lotterie mit Geldgewinnen veranstaltete Genua im 16. Jahrhundert, bei der fünf von 90 Ratskandidaten gezogen wurden, der Ursprung des Lottos, das in Deutschland 1955 als "6 aus 49" begann, mit einem Waisenkind als Glücksfee, bis 2013 im Fernsehen gezogen. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung entstand 1654 aus dem Briefwechsel zwischen Pascal und Fermat über ein unterbrochenes Würfelspiel. Die ersten Zufallszahlentabellen druckte Leonard Tippett 1927 aus Volkszählungsdaten, und die RAND Corporation veröffentlichte 1955 "A Million Random Digits with 100,000 Normal Deviates", ein Buch aus 400 Seiten Ziffern, erzeugt mit einem elektronischen Rauschgenerator, das Statistiker jahrzehntelang nutzten und das bei Amazon bis heute für seine Rezensionen berühmt ist, "die Handlung ist dünn". John von Neumann schlug 1946 die Mittquadratmethode vor, den ersten Pseudozufallsgenerator, und bemerkte, dass jeder, der arithmetische Methoden für Zufall nutze, in einem Zustand der Sünde lebe; der Mersenne-Twister von 1997 und die Hardware-Generatoren in heutigen Prozessoren haben das Problem für den Alltag gelöst. Der Rechner zieht mit dem Zufallsgenerator des Browsers, einem Nachfahren von Neumanns Idee ohne ihre Schwächen.

Praktische Tipps

Legen Sie Bereich und Anzahl vor der Ziehung fest und schreiben Sie sie auf, nicht danach. Machen Sie bei Auslosungen einen Screenshot mit Datum. Ziehen Sie für mehrere Würfel mehr Zahlen, als der Bereich hat, dann wiederholt sich die Augenzahl wie am Tisch. Nutzen Sie bei Stichproben die einfache Zufallsauswahl aus einer nummerierten Liste. Tippen Sie beim Lotto Zahlen über 31 und ohne Muster, nicht wegen der Chance, sondern wegen der Teilung. Erwarten Sie keine Gleichverteilung bei kleinen Ziehungen, zehn Würfe zeigen selten jede Zahl. Und nutzen Sie für Schlüssel und Passwörter Werkzeuge mit genug Länge. Wie wahrscheinlich ein Gewinn in Prozent ist, rechnet der Prozentrechner aus eins durch Möglichkeiten.