Nullstellen-Rechner

So funktioniert der Nullstellen-Rechner

Der Nullstellen-Rechner findet die reellen Nullstellen eines Polynoms, also die x-Werte, an denen f(x) null wird und der Graph die x-Achse schneidet oder berührt. Sie tippen den Funktionsterm ein, auch mit Klammern und Produkten, und bekommen die Nullstellen, die Zerlegung in Linearfaktoren, den y-Achsenabschnitt, die Extrempunkte, das Verhalten für große und kleine x und eine Probe, bei der jede Nullstelle eingesetzt wird.

Merksatz: Grad 1 umstellen, Grad 2 Mitternachtsformel, ab Grad 3 raten und dividieren. Die Eselsbrücke fürs Raten: Ganzzahlige Nullstellen sind immer Teiler des Absolutglieds, bei x³ - 6x² + 11x - 6 also 1, 2, 3 oder 6 mit beiden Vorzeichen. Wer Nullstellen berechnen muss, probiert diese zuerst.

Drei Beispiele:

• 2x² + 3x - 5: Zwei Nullstellen bei -2,5 und 1, faktorisiert 2(x + 2,5)(x - 1), Tiefpunkt bei (-0,75 | -6,125).
• x³ - 6x² + 11x - 6: Drei Nullstellen bei 1, 2 und 3, also (x - 1)(x - 2)(x - 3); der Graph kommt von minus unendlich und geht nach plus unendlich.
• x² + 1: Keine reelle Nullstelle, die Parabel liegt komplett über der x-Achse mit Tiefpunkt (0 | 1); die beiden Nullstellen sind komplex. Und x⁴ - 5x² + 4 hat vier: -2, -1, 1 und 2.

Das Verfahren: Grad 1: x = -b/a, Grad 2: Mitternachtsformel mit Diskriminante b² - 4ac, ab Grad 3: Nullstellen numerisch zwischen den Extremstellen eingegrenzt und per Polynomdivision abgespalten, bis ein quadratischer Rest bleibt. Mehrfache Nullstellen zählt der Rechner einmal. Die Mitternachtsformel allein mit Scheitelpunkt und Vieta zeigt der Gleichungsrechner, die Ableitung mit Hoch- und Tiefpunkten der Ableitungsrechner.

Wissenswertes zum Thema

Die Verfahren von Hand: Ausklammern, Formel, Substitution, Division

Bevor man rechnet, schaut man hin. Fehlt das Absolutglied, wie bei x³ - 4x, klammert man x aus, x(x² - 4), und hat die Nullstelle 0 plus die der Klammer, hier -2 und 2 über die dritte binomische Formel. Bei Grad 2 hilft die Mitternachtsformel oder die p-q-Formel, mit der Diskriminante als Vorab-Check: positiv zwei Nullstellen, null eine doppelte, negativ keine. Kommen nur gerade Potenzen vor, wie bei x⁴ - 5x² + 4, substituiert man z = x², löst z² - 5z + 4 = 0 mit z = 1 und z = 4 und zieht die Wurzeln, was ±1 und ±2 ergibt. Bei Grad 3 und höher ohne solche Tricks rät man eine Nullstelle unter den Teilern des Absolutglieds, bei x³ - 6x² + 11x - 6 ist f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0, und teilt dann per Polynomdivision durch (x - 1), was x² - 5x + 6 ergibt, dessen Nullstellen 2 und 3 die Mitternachtsformel liefert; das Horner-Schema macht dasselbe schneller. Hat ein Polynom ungeraden Grad, hat es mindestens eine reelle Nullstelle, weil der Graph von einer Seite der Achse zur anderen muss, bei geradem Grad kann er ganz darüber oder darunter bleiben. Und ein Polynom vom Grad n hat höchstens n reelle Nullstellen, nie mehr. Die Division zeigt der Polynomdivision-Rechner Schritt für Schritt.

Wie der Rechner rechnet und was er nicht kann

Für Grad 1 und 2 nutzt der Rechner die exakten Formeln. Ab Grad 3 gibt es keine praktikable Formel mehr, die Cardanischen Formeln für Grad 3 und Ferraris für Grad 4 existieren, sind aber unhandlich, und ab Grad 5 gibt es nach dem Satz von Abel und Ruffini gar keine allgemeine Wurzelformel. Der Rechner geht deshalb den Weg, den auch Computeralgebrasysteme gehen: Er bestimmt die Extremstellen über die Ableitung, denn zwischen zwei Extremstellen oder jenseits der äußersten kann höchstens eine Nullstelle liegen, prüft in jedem dieser Abschnitte, ob das Vorzeichen wechselt, und grenzt die Nullstelle dann per Bisektion auf zehn Stellen ein, wie bei einem Intervallhalbierungsverfahren von Hand, nur mit 50 Schritten. Gefundene Nullstellen werden per Polynomdivision abgespalten, damit die Faktorisierung entsteht, und die Probe setzt jede Nullstelle in den Originalterm ein. Berührpunkte wie bei (x - 1)² werden als eine Nullstelle gezählt, die Vielfachheit erkennt man an der Faktorisierung, die (x - 1) dann zweimal enthält. Was der Rechner nicht kann: Nullstellen von Sinus, e-Funktion, Brüchen oder Wurzeln, Gleichungssysteme und komplexe Nullstellen, bei denen er nur die Anzahl nennt. Was die Extrempunkte bedeuten, erklärt der Ableitungsrechner.

Nullstellen in der Kurvendiskussion und im Alltag

In der Schule sind Nullstellen der erste Schritt der Kurvendiskussion, zusammen mit y-Achsenabschnitt, Symmetrie, Verhalten im Unendlichen, Extrem- und Wendepunkten; der Rechner liefert davon alles außer der Symmetrie und den Wendepunkten, die der Ableitungsrechner ergänzt. Das Verhalten für x gegen plus und minus unendlich hängt nur vom höchsten Glied ab: positiver Leitkoeffizient und ungerader Grad heißt von links unten nach rechts oben, gerader Grad heißt beide Enden oben. Außerhalb der Schule tauchen Nullstellen auf, wenn eine Gleichung gelöst werden muss, die sich nicht umstellen lässt: Der Zinssatz, bei dem eine Investition genau null Gewinn bringt, der interne Zinsfuß, ist die Nullstelle eines Polynoms vom Grad der Laufzeit; der Break-even, bei dem Kosten und Erlös gleich sind, die Nullstelle der Differenz; die Flugbahn eines Balls, wo sie den Boden erreicht, die Nullstelle einer Parabel. Für Integrale braucht man Nullstellen, um Flächen oberhalb und unterhalb der Achse zu trennen, was der Stammfunktion-Rechner automatisch tut. Wer eine Nullstelle mit sechs Nachkommastellen bekommt, sollte prüfen, ob eine Rundung bei der Eingabe schuld ist, denn 0,333x ergibt andere Nullstellen als x/3.

Ein Stück Geschichte: Cardano, Abel und das Rechnen mit Wurzeln

Quadratische Gleichungen lösten schon die Babylonier um 1800 v. Chr. mit Rezepten, die der Mitternachtsformel entsprechen, geometrisch gedacht, und al-Chwarizmi fasste sie um 820 in Bagdad zur Algebra zusammen, aber nur mit positiven Lösungen. Die Gleichung dritten Grades knackte Scipione del Ferro um 1515 in Bologna und hielt die Lösung geheim, Tartaglia fand sie 1535 neu, und Gerolamo Cardano veröffentlichte sie 1545 in seiner "Ars Magna", trotz eines Schweigeversprechens, zusammen mit Ferraris Lösung für Grad 4; beim Rechnen damit tauchten erstmals Wurzeln aus negativen Zahlen auf, die Ursprünge der komplexen Zahlen. Dreihundert Jahre suchte man die Formel für Grad 5, bis Niels Henrik Abel 1824 bewies, dass es sie nicht gibt, und Évariste Galois kurz vor seinem Tod im Duell 1832 die Theorie dazu schrieb, die erst Jahrzehnte später verstanden wurde. Das Horner-Schema von 1819 und Newtons Verfahren von 1669 sind die Werkzeuge, mit denen man seitdem numerisch rechnet. Die Bisektion, die der Rechner nutzt, ist noch älter: Sie steckt schon im Zwischenwertsatz von Bolzano 1817.

Praktische Tipps

Tippen Sie den Term so ein, wie er in der Aufgabe steht, auch als Produkt wie (x - 1)(x + 3), der Rechner multipliziert aus. Nutzen Sie Brüche als Dezimalzahl mit genug Stellen oder multiplizieren Sie die ganze Gleichung vorher mit dem Nenner, aus x²/3 - 2 wird x² - 6. Prüfen Sie bei Klausuraufgaben zuerst das Absolutglied: Wenn es fehlt, ist 0 eine Nullstelle, wenn es klein ist, raten Sie Teiler. Vergleichen Sie die Anzahl mit dem Grad: Bei Grad 3 und nur einer Nullstelle sind die anderen beiden komplex, das ist kein Fehler. Schreiben Sie in der Lösung die Linearfaktoren mit, Lehrer sehen daran, dass Sie das Prinzip verstanden haben. Und lassen Sie sich die Probe anzeigen, denn eine Nullstelle, bei der f(x) nur ungefähr null ist, deutet auf einen Tippfehler im Term. Für den quadratischen Rest mit Scheitelpunkt und Vieta-Probe gibt es den Gleichungsrechner.