Sinus-Cosinus-Tangens-Rechner

So funktioniert der Sinus-Cosinus-Tangens-Rechner

Der Sinus-Cosinus-Tangens-Rechner deckt die drei Aufgaben ab, die in der Trigonometrie immer wieder vorkommen. Der erste Kasten liefert zu einem Winkel in Grad, Bogenmaß oder Gon die Werte von sin, cos und tan, dazu Kotangens, Sekans und Kosekans, den Quadranten und eine Tabelle der Standardwinkel von 0 bis 360 Grad. Der zweite Kasten geht den Weg zurück: Aus einem Sinus-, Cosinus- oder Tangenswert berechnet er mit arcsin, arccos und arctan den Winkel, nennt den Hauptwert und die zweite Lösung im Vollkreis. Der dritte Kasten löst das rechtwinklige Dreieck: Ein Winkel und eine Seite genügen, und Hypotenuse, Gegenkathete, Ankathete, zweiter Winkel, Fläche, Umfang und Höhe stehen da.

Merksatz: Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse, Cosinus Ankathete durch Hypotenuse, Tangens Gegenkathete durch Ankathete. Eselsbrücke GAGA HüHnerHof AG: G/H, A/H, G/A für sin, cos, tan. Die Werte für 30, 45 und 60 Grad: Sinus ist Wurzel aus 1, 2, 3, jeweils durch 2.

Drei Beispiele:

• 30 Grad: sin = 0,5, cos = 0,86603, tan = 0,57735, im Bogenmaß 0,5236. Bei 45 Grad sind Sinus und Cosinus gleich 0,70711 und der Tangens genau 1. Ein Bogenmaß von 1 entspricht 57,2958 Grad mit sin 0,84147 und cos 0,5403.
• arcsin(0,5): Hauptwert 30 Grad, zweite Lösung 150 Grad, denn sin(150°) ist ebenfalls 0,5. arctan(1) = 45 Grad, die zweite Lösung 225 Grad, weil der Tangens die Periode 180 Grad hat.
• Rechtwinkliges Dreieck mit α = 35 Grad und Hypotenuse 10: Gegenkathete 5,7358, Ankathete 8,1915, β = 55 Grad, Fläche 23,4923. Mit α = 60 Grad und Gegenkathete 7: Hypotenuse 8,0829, Ankathete 4,0415. Mit 30 Grad und Hypotenuse 10 ist die Gegenkathete genau 5.

Formeln: sin α = a / c, cos α = b / c, tan α = a / b = sin α / cos α, Bogenmaß = Grad · π / 180, sin² α + cos² α = 1. Beliebige Dreiecke mit Sinus- und Cosinussatz löst der Dreieck-Rechner, die Hypotenuse aus zwei Katheten der Pythagoras-Rechner, und Steigungen in Grad und Prozent der Steigungsrechner.

Wissenswertes zum Thema

Sinus, Cosinus, Tangens: Die drei Verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck

Alles beginnt im rechtwinkligen Dreieck. Gegenüber dem rechten Winkel liegt die Hypotenuse, die längste Seite; die beiden anderen heißen Katheten, und welche davon An- und welche Gegenkathete ist, hängt vom betrachteten Winkel ab. Der Sinus eines Winkels ist Gegenkathete durch Hypotenuse, der Cosinus Ankathete durch Hypotenuse, der Tangens Gegenkathete durch Ankathete. Das Entscheidende: Diese Verhältnisse hängen nur vom Winkel ab, nicht von der Größe des Dreiecks. Ein Dreieck mit 30 Grad hat immer eine Gegenkathete, die halb so lang ist wie die Hypotenuse, ob es auf dem Papier oder zwischen Leiter, Wand und Boden steht. Daraus folgen die Standardwerte, die man kennen sollte: sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, und der Cosinus in umgekehrter Reihenfolge, weil cos α = sin (90° - α). Der Tangens wächst von 0 bei 0 Grad über 1 bei 45 Grad bis ins Unendliche bei 90 Grad, wo der Cosinus null wird und die Division nicht mehr definiert ist. Am Einheitskreis, dem Kreis mit Radius 1, werden die Funktionen für alle Winkel erklärt: Der Punkt auf dem Kreis beim Winkel α hat die Koordinaten (cos α | sin α), und so bekommen auch 120 oder 270 Grad ihre Werte, mit Vorzeichen je nach Quadrant.

Grad, Bogenmaß, Gon und der Taschenrechner

Der häufigste Fehler mit Winkelfunktionen ist nicht die Formel, sondern die Einstellung des Taschenrechners. Im Modus DEG rechnet er in Grad, im Modus RAD im Bogenmaß, in dem der Vollkreis 2π statt 360 beträgt; sin(30) ergibt in DEG 0,5, in RAD dagegen -0,988, weil 30 Bogenmaß fast fünf volle Umdrehungen sind. Das Bogenmaß ist die natürliche Einheit der Mathematik: Es misst den Winkel als Länge des Bogens am Einheitskreis, und nur im Bogenmaß gilt die Ableitungsregel, dass die Ableitung des Sinus der Cosinus ist. Umrechnung: Grad mal π durch 180, also 1 Grad = 0,01745 und 1 Bogenmaß = 57,2958 Grad. Die dritte Einheit, Gon oder Neugrad, teilt den Vollkreis in 400 Teile und wird in der Vermessung benutzt, weil ein rechter Winkel dort glatt 100 beträgt; 30 Grad sind 33,3333 Gon. Der Rechner nimmt alle drei entgegen und zeigt sie nebeneinander. Für die Umkehrfunktionen gilt eine zweite Falle: arcsin, arccos und arctan liefern nur den Hauptwert, arcsin zwischen -90 und 90 Grad, arccos zwischen 0 und 180, arctan zwischen -90 und 90. Dass auch 150 Grad den Sinus 0,5 hat, muss man wissen; der Rechner nennt die zweite Lösung im Vollkreis und die Periode.

Rechtwinkliges Dreieck in der Praxis

Die meisten Anwendungen der Trigonometrie sind rechtwinklige Dreiecke, auch wenn man sie nicht gleich sieht. Die Leiter an der Wand: 65 bis 75 Grad Anstellwinkel sind sicher, bei 4 Metern Länge und 70 Grad reicht sie 3,76 Meter hoch und steht 1,37 Meter von der Wand. Die Dachneigung: Bei 35 Grad und 5 Metern halber Hausbreite ist der Sparren 6,10 Meter lang und der First 3,50 Meter höher als die Traufe. Die Höhe eines Baums: Aus 20 Metern Entfernung unter 32 Grad angepeilt ist er 20 mal tan 32° plus Augenhöhe, also 12,5 Meter plus 1,6 Meter. Die Schattenlänge bei 14 Grad Sonnenhöhe: Höhe durch tan 14°, ein Meter wirft 3,98 Meter. In der Physik zerlegt der Sinus Kräfte an der schiefen Ebene, in der Elektrotechnik beschreibt er Wechselstrom, in der Navigation Kurs und Versatz. Der dritte Kasten rechnet aus einem Winkel und einer Seite alles aus, inklusive Fläche (Katheten mal einander durch zwei), Umfang und der Höhe auf die Hypotenuse (Produkt der Katheten durch die Hypotenuse), und prüft am Ende mit dem Satz des Pythagoras, dass a² + b² = c² aufgeht.

Ein Stück Geschichte

Die Trigonometrie entstand aus der Astronomie. Der griechische Astronom Hipparchos stellte um 150 vor Christus die erste Sehnentafel auf, Ptolemäus erweiterte sie um 150 nach Christus im Almagest auf halbe Grad. Den Schritt von der Sehne zur halben Sehne, also zum heutigen Sinus, machten indische Mathematiker um 500: Aryabhata nannte die Größe "ardha-jya", halbe Sehne, daraus wurde im Arabischen "jiba", von lateinischen Übersetzern im 12. Jahrhundert als "sinus", Busen oder Bucht, missverstanden. So kam der Sinus zu seinem Namen. Der Tangens stammt aus der Schattenmessung mit dem Gnomon, der Cosinus wurde als "Sinus des Komplements" erst im 17. Jahrhundert eigenständig. Der Nürnberger Astronom Regiomontanus schrieb 1464 mit "De triangulis omnimodis" das erste europäische Lehrbuch der Trigonometrie, Georg Joachim Rheticus berechnete im 16. Jahrhundert zehnstellige Tafeln, und bis zum Taschenrechner der 1970er-Jahre arbeitete jeder Schüler, Vermesser und Seemann mit gedruckten Logarithmen- und Winkeltafeln. Das Bogenmaß führte Roger Cotes 1714 ein, der Begriff Radiant stammt von 1873.

Praktische Tipps

Stellen Sie den Taschenrechner vor jeder Aufgabe auf DEG, wenn Winkel in Grad gegeben sind, und prüfen Sie mit sin 30 = 0,5. Zeichnen Sie das Dreieck und beschriften Sie Hypotenuse, Gegen- und Ankathete aus Sicht des gefragten Winkels, bevor Sie eine Formel wählen. Nutzen Sie die Probe sin² + cos² = 1, der Rechner zeigt sie mit an. Denken Sie bei Umkehrfunktionen an die zweite Lösung, vor allem bei Aufgaben mit stumpfen Winkeln. Und merken Sie sich die drei Standardwerte für 30, 45 und 60 Grad, sie reichen für die meisten Kopfrechnungen. Einheiten zwischen Grad, Bogenmaß und Gon rechnet der erste Kasten nebenbei um; Kreisbogen und Sektor zum Winkel liefert der Kreis-Rechner, Vektoren und ihre Winkel der Vektorrechner, und für Dächer der Dachneigungsrechner.