Wissenschaftliche-Schreibweise-Rechner

So funktioniert der Wissenschaftliche-Schreibweise-Rechner

Der Rechner für die wissenschaftliche Schreibweise übersetzt zwischen gewöhnlichen Zahlen und Zehnerpotenzen. Der erste Kasten wandelt jede Zahl in die Exponentialschreibweise um: eine Mantisse zwischen 1 und 10 mal eine Zehnerpotenz, wie sie Physik, Chemie und Taschenrechner nutzen, dazu die technische Schreibweise mit Exponenten in Dreierschritten und dem passenden SI-Vorsatz von Yotta bis Yokto. Der zweite Kasten zählt die signifikanten Stellen einer Zahl und rundet auf eine gewünschte Anzahl, mit Rundungsfehler. Der dritte Kasten rechnet mit Zehnerpotenzen: multiplizieren, dividieren, addieren und subtrahieren mit dem Rechenweg über Mantissen und Exponenten.

Merksatz: Das Komma wandert, bis genau eine Ziffer von 1 bis 9 davor steht; die Zahl der Schritte ist der Exponent, nach links positiv, nach rechts negativ. Eselsbrücke für die Vorsätze: Kilo, Mega, Giga, Tera für tausend, Million, Milliarde, Billion; Milli, Mikro, Nano, Piko für die Kehrwerte.

Drei Beispiele:

• 0,000045: wissenschaftlich 4,5 · 10⁻⁵, Taschenrechner 4,5E-5, technisch 45 · 10⁻⁶, also 45 Mikro, 2 signifikante Stellen. Die Lichtgeschwindigkeit 299792458 wird zu 2,99792458 · 10⁸ mit 9 signifikanten Stellen, 6.500.000.000 zu 6,5 · 10⁹ oder 6,5 Giga.
• 3,14159265 auf 3 signifikante Stellen: 3,14, Rundungsfehler 0,0507 Prozent. 0,0012345 hat 5 signifikante Stellen und wird auf 2 Stellen zu 0,0012; die Zahl 1200 ohne Komma hat nur 2 signifikante Stellen.
• 3,2 · 10⁵ mal 4 · 10⁻³: Mantissen 3,2 mal 4 gleich 12,8, Exponenten 5 plus (-3) gleich 2, normalisiert 1,28 · 10³ = 1.280. Die Avogadro-Zahl 6,02 · 10²³ geteilt durch 1,5 · 10⁻² ergibt 4,013333 · 10²⁵.

Formeln: Zahl = Mantisse × 10^Exponent mit 1 ≤ Mantisse < 10, beim Multiplizieren Mantissen multiplizieren und Exponenten addieren, beim Dividieren Exponenten subtrahieren, beim Addieren vorher auf gleichen Exponenten bringen. Potenzen allgemein rechnet der Potenzrechner, der Logarithmus als Umkehrung der Logarithmusrechner, und normales Runden auf Dezimalstellen der Rundungsrechner.

Wissenswertes zum Thema

Wissenschaftliche Schreibweise: Warum Physiker keine Nullen zählen

Die Masse eines Elektrons ist 0,000000000000000000000000000000910938 Kilogramm, die der Sonne 1.989.000.000.000.000.000.000.000.000.000 Kilogramm. Niemand kann solche Zahlen lesen, geschweige denn damit rechnen, und deshalb schreibt die Naturwissenschaft 9,10938 · 10⁻³¹ und 1,989 · 10³⁰. Die wissenschaftliche Schreibweise (auch Exponentialschreibweise oder Normdarstellung) zerlegt jede Zahl in eine Mantisse zwischen 1 und 10 und eine Zehnerpotenz, die die Größenordnung angibt. Der Exponent ist die Zahl der Stellen, um die das Komma verschoben wurde: bei 299792458 acht Stellen nach links, also 10⁸; bei 0,000045 fünf Stellen nach rechts, also 10⁻⁵. Taschenrechner und Tabellenkalkulationen zeigen dasselbe als 4,5E-5, wobei das E für "mal zehn hoch" steht, und genau in dieser Form nimmt der Rechner Eingaben entgegen. Die Schreibweise hat zwei Vorteile: Größenordnungen lassen sich auf einen Blick vergleichen, 10³⁰ gegen 10⁻³¹ sind 61 Zehnerpotenzen Unterschied, und die Genauigkeit wird sichtbar, denn die Mantisse zeigt genau die Ziffern, die man kennt. Die technische Schreibweise ist eine Variante mit Exponenten, die durch 3 teilbar sind, so dass die Mantisse zwischen 1 und 1.000 liegt; sie passt zu den SI-Vorsätzen: 45 · 10⁻⁶ Meter sind 45 Mikrometer, 6,5 · 10⁹ Byte sind 6,5 Gigabyte. Der Rechner zeigt beide Formen nebeneinander.

Signifikante Stellen: Genauigkeit ehrlich angeben

Signifikante Stellen sind die Ziffern einer Zahl, die tatsächlich Information tragen. Die Regeln: Alle Ziffern von 1 bis 9 zählen; Nullen zwischen ihnen zählen (1,002 hat vier); führende Nullen zählen nicht (0,0012 hat zwei, sie legen nur das Komma fest); Nullen am Ende zählen nur, wenn ein Komma gesetzt ist (1,200 hat vier, 1200 ohne Komma zählt der Rechner als zwei, weil nicht klar ist, ob die Nullen gemessen oder gerundet sind). Genau diese Mehrdeutigkeit löst die wissenschaftliche Schreibweise: 1,2 · 10³ hat zwei Stellen, 1,200 · 10³ vier. Für Messwerte gilt die Grundregel, nie genauer anzugeben, als gemessen wurde. Wer mit dem Zollstock 1,23 Meter misst und durch 3 teilt, schreibt 0,41 Meter, nicht die 0,41000 Meter, die der Taschenrechner anzeigt. Bei Multiplikation und Division bestimmt der Faktor mit den wenigsten signifikanten Stellen das Ergebnis, bei Addition und Subtraktion die wenigsten Nachkommastellen. Das Runden auf signifikante Stellen funktioniert wie gewohnt: Die erste wegfallende Ziffer entscheidet, ab 5 wird aufgerundet. 3,14159265 auf drei Stellen ist 3,14, auf vier 3,142; 0,0012345 auf zwei Stellen 0,0012, auf drei 0,00123. Der Rechner nennt den Rundungsfehler, damit sichtbar wird, was die Kürzung kostet: 0,05 Prozent bei Pi auf drei Stellen, 2,8 Prozent bei 0,0012345 auf zwei.

Rechnen mit Zehnerpotenzen

Die Potenzgesetze machen das Rechnen mit großen und kleinen Zahlen einfach. Beim Multiplizieren werden die Mantissen multipliziert und die Exponenten addiert: 3,2 · 10⁵ mal 4 · 10⁻³ ist 12,8 · 10², normalisiert 1,28 · 10³. Beim Dividieren werden die Mantissen dividiert und die Exponenten subtrahiert: 6,02 · 10²³ durch 1,5 · 10⁻² ist 4,013 · 10²⁵, weil 23 minus (-2) gleich 25 ist. Beim Addieren und Subtrahieren müssen die Exponenten gleich sein; 3,2 · 10⁵ plus 4 · 10³ wird zu 3,2 · 10⁵ plus 0,04 · 10⁵ gleich 3,24 · 10⁵. Das Normalisieren am Ende, also das Zurückschieben der Mantisse in den Bereich von 1 bis 10, vergisst man am leichtesten; der Rechner zeigt es als eigenen Schritt. Zwei Fallen aus der Praxis: Der Taschenrechner zeigt bei 1,28E3 das E, aber meint keine Eulersche Zahl, und Tabellenkalkulationen rechnen "3,2E5" nur, wenn das Dezimalzeichen zur Spracheinstellung passt. Und wer 10⁻³ mit 10³ verwechselt, liegt um sechs Größenordnungen daneben, also um den Faktor eine Million.

Ein Stück Geschichte

Die Idee, Zahlen über Zehnerpotenzen zu beschreiben, hatte Archimedes im 3. Jahrhundert vor Christus in der "Sandrechnung": Er zeigte, dass die Zahl der Sandkörner, die das Universum füllen würden, kleiner ist als 10⁶³, und erfand dafür ein System von Potenzen der Myriade, weil die griechischen Zahlzeichen bei 10.000 endeten. Die heutige Schreibweise mit Exponenten setzte sich erst mit René Descartes 1637 durch, der x³ statt xxx schrieb. Die Einteilung der Größenordnungen in Dreierschritte mit Vorsätzen kam mit dem metrischen System der Französischen Revolution 1795 (Kilo, Hekto, Deka, Dezi, Zenti, Milli); Mega und Mikro folgten 1873, Giga und Nano 1960 mit dem Internationalen Einheitensystem SI, Yotta und Yokto 1991, und 2022 wurden Ronna, Quetta, Ronto und Quecto für 10²⁷ bis 10⁻³⁰ ergänzt, weil die Datenmengen der Welt die Yottabyte-Grenze erreichen. Das E der Taschenrechner stammt aus der Programmiersprache Fortran von 1957, die Exponenten so in Lochkartenspalten unterbrachte. Die signifikanten Stellen gehen auf die Fehlerrechnung des 19. Jahrhunderts zurück, als Gauß und Bessel die Messgenauigkeit der Astronomie systematisierten.

Praktische Tipps

Schreiben Sie Messwerte in wissenschaftlicher Schreibweise, dann ist die Genauigkeit eindeutig: 1,20 · 10³ statt 1200. Geben Sie Ergebnisse mit so vielen Stellen an wie der ungenaueste Eingangswert, nicht mit den zehn Stellen des Taschenrechners. Prüfen Sie Größenordnungen vor dem Rechnen im Kopf: 3 · 10⁵ mal 4 · 10⁻³ muss etwa 10³ ergeben, alles andere ist ein Exponentenfehler. Nutzen Sie SI-Vorsätze statt langer Nullen, 45 µm liest sich besser als 0,000045 m. Und lernen Sie die Reihe Kilo, Mega, Giga, Tera, Peta, Exa, sie begegnet Ihnen bei Festplatten genauso wie bei Kraftwerken. Für Wurzeln aus Zehnerpotenzen hilft der Wurzelrechner, für Einheiten mit Vorsätzen der Längenumrechner, und für Datenmengen von Byte bis Terabyte der Datenmengen-Umrechner.