Dreisatzrechner

So funktioniert der Dreisatzrechner

Der Dreisatz-Rechner löst die Aufgabe, die in der Schule Dreisatz heißt und im Leben überall vorkommt, in drei Kästen: der proportionale Dreisatz für "je mehr, desto mehr", Preise, Rezepte, Strecken; der antiproportionale Dreisatz für "je mehr, desto weniger", Arbeiter und Stunden, Pumpen und Minuten; und der Preisvergleich, der zwei Angebote auf den Preis pro Einheit bringt und sagt, welches um wie viel Prozent günstiger ist. Jeder Kasten zeigt den Rechenweg über die Einheit, so wie ihn die Lehrkraft sehen will.

Merksatz: Erst auf eins, dann auf die gesuchte Menge, beim proportionalen Dreisatz durch die erste Menge teilen und mit der zweiten malnehmen, beim antiproportionalen malnehmen und dann teilen. Die Eselsbrücke: Mehr Brötchen, mehr Geld, das ist proportional; mehr Bäcker, weniger Zeit, das ist antiproportional, und bei dem bleibt das Produkt gleich.

Drei Beispiele:

• 250 g kosten 2,10 €, was kosten 400 g? 2,10 / 250 = 0,0084 € je Gramm, mal 400 = 3,36 €, Faktor 1,6.
• 3 Pumpen brauchen 120 Minuten, wie lange brauchen 5? 3 × 120 = 360 Pumpenminuten Gesamtaufwand, durch 5 = 72 Minuten.
• 6 Stück für 4,99 € oder 20 Stück für 14,99 €? 0,8317 € gegen 0,7495 € je Stück, Angebot B ist 9,9 Prozent günstiger.

Formeln: proportional: x = b / a × c, antiproportional: x = a × b / c, Preis je Einheit = Preis / Menge, Ersparnis = (teurer - günstiger) / teurer × 100. Prozentaufgaben, die sich als Dreisatz tarnen, rechnet der Prozentrechner, und Rezepte für mehr oder weniger Personen der Rezeptmengen-Rechner.

Wissenswertes zum Thema

Proportional oder antiproportional: Die eine Frage, die alles entscheidet

Bevor man rechnet, muss man wissen, in welche Richtung die zweite Größe geht, wenn die erste wächst: Mehr Gramm, mehr Euro, mehr Kilometer, mehr Liter, mehr Gäste, mehr Kartoffeln, das ist proportional, und der Quotient bleibt gleich, 2,10 durch 250 ist dasselbe wie 3,36 durch 400. Mehr Arbeiter, weniger Stunden, mehr Pumpen, weniger Minuten, schnellere Fahrt, kürzere Zeit, mehr Erben, weniger je Erbe, das ist antiproportional, und das Produkt bleibt gleich, 3 mal 120 ist dasselbe wie 5 mal 72, der Gesamtaufwand in Pumpenminuten. Der Rechner zeigt beim antiproportionalen Dreisatz diesen Gesamtaufwand als Zwischenergebnis, 360, weil das die Zahl ist, die man im Kopf behalten muss. Die Falle ist das blinde Anwenden der proportionalen Formel auf eine antiproportionale Aufgabe, dann brauchen 5 Pumpen 200 Minuten statt 72, und die Prüfung "wird das Ergebnis größer oder kleiner" entlarvt das sofort. Nicht jede Beziehung ist eins von beiden: Taxikosten haben eine Grundgebühr, Mengenrabatte brechen die Proportionalität, und die Fahrzeit bei doppelter Geschwindigkeit halbiert sich nur ohne Ampeln; der Dreisatz gilt für den linearen Fall, und in der Oberstufe wird er zur linearen Funktion ohne Achsenabschnitt. Der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit, Strecke und Zeit, der beides enthält, ist beim Durchschnittsgeschwindigkeits-Rechner fertig verdrahtet.

Der Rechenweg über die Einheit und der zweistufige Dreisatz

Die Schulmethode in drei Zeilen: 250 g kosten 2,10 €, 1 g kostet 2,10 / 250 = 0,0084 €, 400 g kosten 0,0084 × 400 = 3,36 €, und das ist der Rechenweg, den der Rechner als "pro Einheit" ausgibt; schneller geht es über den Faktor, 400 durch 250 ist 1,6, mal 2,10 ist 3,36, und der Rechner zeigt auch den. Beim antiproportionalen Dreisatz lautet die mittlere Zeile "1 Pumpe braucht 3 × 120 = 360 Minuten", dann "5 Pumpen brauchen 360 / 5 = 72". Der zweistufige Dreisatz kombiniert zwei Größen: 4 Maler streichen in 6 Stunden 120 Quadratmeter, wie viel schaffen 6 Maler in 5 Stunden? Erst auf 1 Maler und 1 Stunde, 120 / 4 / 6 = 5 Quadratmeter, dann mal 6 mal 5 = 150; im Rechner in zwei Durchgängen, erst Maler proportional, dann Stunden proportional. Der Preisvergleich ist ein Dreisatz auf dieselbe Einheit für beide Angebote, Preis durch Menge, und der Rechner zeigt den Preis je Einheit und je 100 Einheiten, wie der Grundpreis am Supermarktregal, der seit 2000 nach der Preisangabenverordnung Pflicht ist, je Kilogramm, Liter oder 100 Gramm. Die Ersparnis bezieht der Rechner auf das teurere Angebot, 9,9 Prozent bei 0,8317 gegen 0,7495, und das ist die Zahl, die ein Prozentrechner als "Rabatt" ausgeben würde. Für Prozentaufgaben, bei denen der Grundwert gesucht ist, hilft der Prozentrechner mit allen drei Richtungen.

Dreisatz im Alltag: Kochen, Tanken, Einkaufen, Dosieren

Das Rezept für vier Personen auf sieben: alle Mengen durch 4 mal 7, Faktor 1,75, und der Rechner rechnet jede Zutat einzeln oder der Rezeptmengen-Rechner das ganze Rezept auf einmal. Tanken: 38 Liter für 520 Kilometer, wie weit reichen 50? 520 / 38 × 50 = 684 Kilometer. Medikamente: 15 Milligramm je Kilogramm Körpergewicht bei 72 Kilogramm, 1.080 Milligramm, das ist die Rechnung, die Pflegekräfte und Eltern am häufigsten machen, und bei der der Dreisatz Leben rettet oder gefährdet. Farbe: 1 Liter für 8 Quadratmeter, 42 Quadratmeter brauchen 5,25 Liter. Währungen, Maßstäbe, Zinsen für Teiljahre, Gehalt für Teilmonate, Lohn für 32 statt 40 Stunden, alles Dreisatz. Der Preisvergleich am Regal: Die 750-Gramm-Packung für 3,59 gegen die 500er für 2,49, 0,479 gegen 0,498 je 100 Gramm, die große ist 3,9 Prozent günstiger, und das ist weniger, als die Packung vermuten lässt; Großpackungen sind nicht automatisch billiger, die Grundpreise seit 2022 müssen je 1 Kilogramm oder 1 Liter angegeben werden, das macht den Vergleich leichter, aber die Schrumpfpackung mit gleichem Preis und weniger Inhalt findet nur der Dreisatz. Beim Einkauf für die Gruppe wird aus dem Dreisatz die Aufteilung je Person, der Kosten-pro-Person-Rechner macht das mit Namen und Ausgleichszahlungen.

Ein Stück Geschichte: Die Regel de tri, die goldene Regel der Kaufleute

Der Dreisatz ist älter als die Algebra: Die indischen Mathematiker Aryabhata um 500 und Brahmagupta um 628 beschrieben die "trairashika", die Regel der drei Größen, mit genau der Anordnung, die heute an der Tafel steht, Gegebenes, Maß, Gesuchtes, und von Indien kam sie über die arabischen Rechenbücher nach Europa. Leonardo von Pisa, Fibonacci, nahm sie 1202 in seinen "Liber Abaci" auf, und in den Rechenschulen der italienischen Kaufmannsstädte wurde sie zur "regola del tre", der wichtigsten Rechenart des Handels, weil Warenpreise, Wechselkurse und Gewichtsumrechnungen nichts anderes sind. Adam Ries, der berühmteste deutsche Rechenmeister, widmete ihr in seinem Rechenbuch von 1522 ein eigenes Kapitel und nannte sie "Regel de tri" oder "goldene Regel", weil mit ihr "alle Kaufmannsrechnung" gelöst werde, und die Regula de tri blieb bis ins 19. Jahrhundert das Kernstück des Rechenunterrichts, mit der "Regula de quinque" für den zweistufigen Fall. Der Name "Dreisatz" setzte sich im 19. Jahrhundert durch, und die Reformpädagogik um 1900 ersetzte das mechanische Schema durch den "Schluss auf die Einheit", der bis heute gelehrt wird: erst auf eins, dann auf die gesuchte Menge. Der Preisvergleich bekam 1985 mit der Preisangabenverordnung seinen Platz am Regal, seit 2000 ist der Grundpreis für fast alle Waren Pflicht und seit 2022 einheitlich je Kilogramm oder Liter. Der Rechner rechnet, was Adam Ries die goldene Regel nannte.

Praktische Tipps

Fragen Sie vor dem Rechnen, ob das Ergebnis größer oder kleiner werden muss, das trennt proportional von antiproportional. Rechnen Sie in Klausuren über die Einheit, das gibt die Punkte für den Rechenweg. Prüfen Sie den Faktor im Kopf, 400 zu 250 ist 1,6, dann muss der Preis 1,6-mal so hoch sein. Nutzen Sie den Preisvergleich mit den Mengen in derselben Einheit, Gramm gegen Gramm. Trauen Sie Großpackungen nicht, bis der Grundpreis es bestätigt. Rechnen Sie Dosierungen zweimal. Und merken Sie sich, dass Grundgebühren und Rabatte den Dreisatz brechen. Bruchteile von Mengen, die beim Dreisatz entstehen, wandelt der Bruchrechner in Dezimalzahlen und zurück.