Kreis-Rechner

So funktioniert der Kreis-Rechner

Der Kreis-Rechner braucht nur eine einzige Angabe. Im ersten Kasten wählen Sie, was Sie kennen, Radius, Durchmesser, Umfang oder Fläche, und bekommen alle anderen Größen: Kreisumfang, Kreisfläche, Durchmesser, Radius, dazu die Halbkreisfläche und das Volumen der Kugel mit demselben Radius. Der zweite Kasten rechnet mit dem Mittelpunktswinkel: Kreisbogen, Kreissektor (das Tortenstück), Sehne, Segmenthöhe und Kreissegment (der Abschnitt zwischen Sehne und Bogen). Der dritte Kasten ist der Kreisring aus Außen- und Innenradius, wie er bei Rohren, Dichtungen und Beeteinfassungen vorkommt.

Merksatz: Umfang ist zwei Pi mal r, Fläche ist Pi mal r Quadrat; wer den Durchmesser hat, halbiert ihn zuerst. Eselsbrücke: Ein Kreis mit Radius 1 hat die Fläche Pi, also 3,14, und den Umfang 2 Pi, also 6,28.

Drei Beispiele:

• Radius 5: Durchmesser 10, Umfang 31,4159, Fläche 78,5398. Mit Radius 10 vervierfacht sich die Fläche auf 314,1593, der Umfang verdoppelt sich nur auf 62,8319. Aus Umfang 100 folgt der Radius 15,9155 und die Fläche 795,7747.
• Radius 10 und Mittelpunktswinkel 60 Grad: Bogenlänge 10,472, Sektorfläche 52,3599 (ein Sechstel des Kreises), Sehne genau 10, Segment 9,0586. Bei Radius 6 und 90 Grad: Bogen 9,4248, Sektor 28,2743, Sehne 8,4853.
• Kreisring mit Außenradius 8 und Innenradius 5: Ringfläche 122,5221 bei Ringbreite 3. Ein Rohr mit 30 außen und 28 innen hat einen Wandquerschnitt von 364,4247.

Formeln: U = 2 · π · r, A = π · r², r = U / (2π) = √(A / π), Bogen b = r · α (α im Bogenmaß), Sektor A = r² · α / 2, Sehne s = 2r · sin(α / 2), Ring A = π · (ra² - ri²). Andere Formen rechnet der Flächenrechner, Zylinder und Kugel der Volumenrechner, und die Winkelfunktionen dahinter der Sinus-Cosinus-Tangens-Rechner.

Wissenswertes zum Thema

Kreis berechnen: Vier Größen, eine Zahl

Beim Kreis hängt alles an einer Größe, dem Radius, und an einer Zahl, Pi. Der Durchmesser ist der doppelte Radius, der Umfang ist Pi mal Durchmesser, die Fläche ist Pi mal Radius zum Quadrat. Deshalb genügt jede der vier Angaben, um die übrigen zu bestimmen, und der Rechner rechnet immer zuerst auf den Radius zurück: aus dem Durchmesser durch Halbieren, aus dem Umfang durch Teilen durch 2 Pi, aus der Fläche durch die Wurzel aus Fläche durch Pi. Der häufigste Fehler im Alltag ist die Verwechslung von Radius und Durchmesser: Ein Pool mit 3 Metern Durchmesser hat eine Fläche von 7,07 Quadratmetern, nicht von 28,27. Der zweithäufigste ist das Rechnen mit 3,14 statt mit Pi; bei einem Radius von 10 macht das 0,16 Flächeneinheiten aus, bei einem Kreis von 100 Metern Radius schon 16 Quadratmeter. Ein nützlicher Nebeneffekt der Formeln: Verdoppelt man den Radius, verdoppelt sich der Umfang, die Fläche aber vervierfacht sich. Darum fasst eine Pizza mit 30 Zentimetern Durchmesser mehr als doppelt so viel wie zwei mit 20 Zentimetern zusammen (707 gegen 628 Quadratzentimeter), und darum lohnt die große fast immer.

Kreisbogen, Sektor und Segment

Mit einem Winkel kommt das Bogenmaß ins Spiel: 360 Grad entsprechen 2 Pi, ein Grad ist Pi durch 180, also 0,01745. Die Bogenlänge ist Radius mal Winkel im Bogenmaß, bei Radius 10 und 60 Grad also 10 mal 1,0472. Der Kreissektor, das Tortenstück, hat die Fläche Radius zum Quadrat mal Winkel durch zwei, oder einfacher: Winkel durch 360 mal Kreisfläche. Die Sehne, die gerade Verbindung der beiden Bogenenden, ist 2r mal Sinus des halben Winkels; bei 60 Grad ist sie genau so lang wie der Radius, weil das Dreieck aus zwei Radien und der Sehne gleichseitig ist. Das Kreissegment schließlich ist der Sektor ohne das Dreieck aus Mittelpunkt und Sehne, also die Fläche zwischen Sehne und Bogen; seine Höhe, der Abstand von der Sehne zum Bogen, ist r mal (1 minus Cosinus des halben Winkels). Praktisch wichtig wird das bei Rundbögen im Bau, bei der Füllhöhe liegender Tanks und beim Zuschnitt von Kreissegmenten aus Blech oder Holz. Der Rechner nimmt den Winkel in Grad, weil ihn so Winkelmesser und Zeichenprogramme liefern; die Umrechnung ins Bogenmaß steht im Rechenweg.

Kreisring und die mittlere Umfangsformel

Der Kreisring ist die Differenz zweier Kreise: Außenfläche minus Innenfläche, Pi mal (ra² minus ri²). Weil ra² minus ri² gleich (ra plus ri) mal (ra minus ri) ist, lässt sich das auch als mittlerer Umfang mal Ringbreite schreiben: Pi mal (ra plus ri) ist der Umfang des mittleren Kreises, (ra minus ri) die Breite. Diese Form rechnen Handwerker im Kopf, etwa für den Randstreifen um ein rundes Beet oder die Fläche einer Dichtung. Bei Rohren ist die Ringfläche der Materialquerschnitt, der für das Gewicht zählt: Ein Stahlrohr mit 30 Millimetern Außen- und 28 Millimetern Innenradius hat 364 Quadratmillimeter Querschnitt, das sind bei 7,85 Gramm je Kubikzentimeter 2,86 Kilogramm je Meter. Für den Durchfluss zählt dagegen die Innenfläche. Verwechslungsgefahr gibt es beim Begriff Kreisring in der Geometrie und dem Ring in der Algebra; hier ist nur die Fläche gemeint.

Ein Stück Geschichte

Die Zahl Pi beschäftigt die Menschheit seit 4.000 Jahren. Die Babylonier rechneten mit 3,125, der ägyptische Papyrus Rhind um 1650 vor Christus mit (16/9)², also 3,1605, und im Alten Testament wird das Verhältnis beim Becken des Salomonischen Tempels mit 3 angegeben. Archimedes von Syrakus bewies um 250 vor Christus mit ein- und umbeschriebenen 96-Ecken, dass Pi zwischen 3,1408 und 3,1429 liegt, und fand die Formel für die Kreisfläche als Dreieck mit dem Umfang als Grundseite und dem Radius als Höhe. Der chinesische Mathematiker Zu Chongzhi kam im 5. Jahrhundert auf 355/113, sieben richtige Stellen, ein Rekord für 900 Jahre. Das Symbol π führte der Waliser William Jones 1706 ein, Leonhard Euler machte es ab 1737 zum Standard. Dass Pi irrational ist, bewies Johann Heinrich Lambert 1761, dass es transzendent ist und die Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal unmöglich, Ferdinand von Lindemann 1882 in Freiburg. Heute kennt man über 100 Billionen Nachkommastellen; für jede Rechnung dieses Rechners genügen die 16 Stellen, die der Computer speichert, und für den Bau einer Kugel von der Größe der Erde würden 15 Stellen auf den Millimeter reichen.

Praktische Tipps

Messen Sie bei runden Gegenständen den Umfang mit einem Maßband, das ist genauer als der geschätzte Durchmesser, und lassen Sie den Rechner den Rest machen. Prüfen Sie bei Flächenangaben immer, ob Radius oder Durchmesser gemeint ist; Poolhändler, Teichfolienverkäufer und Trampolinhersteller geben fast immer den Durchmesser an. Rechnen Sie Materialmengen für runde Flächen mit 5 bis 10 Prozent Zuschlag für Verschnitt, bei Kreissegmenten mehr. Nutzen Sie bei Winkelaufgaben den Sektor-Kasten statt der Faustformel mit Dreiecken, die Abweichung wird bei großen Winkeln erheblich. Und vergessen Sie das Quadrat der Einheit nicht: Radius in Metern ergibt Fläche in Quadratmetern, Radius in Zentimetern eine 10.000-mal größere Zahl in Quadratzentimetern. Für Dachflächen hilft der Dachneigungsrechner, für die Diagonale im Rechteck der Pythagoras-Rechner, und für beliebige Dreiecke im Kreis der Dreieck-Rechner.