Logarithmus-Rechner

So funktioniert der Logarithmus-Rechner

Der Logarithmus-Rechner beantwortet die Umkehrfrage der Potenz: Welche Hochzahl macht aus der Basis die Zahl? Sie geben die Zahl ein und wählen die Basis, 10 für den dekadischen Logarithmus lg, e für den natürlichen Logarithmus ln, 2 für den binären lb oder eine eigene Basis, etwa 1,05 für Zinsfragen, und der Rechner liefert den Logarithmus mit sechs Stellen, die Werte zu allen drei Standardbasen, die Probe als Potenz, die Umkehrung und den Rechenweg über die Formel ln(x) durch ln(b).

Merksatz: Der Logarithmus ist der Exponent, lg(1.000) = 3, weil 10³ = 1.000, und ln(2) = 0,693, weil e hoch 0,693 gleich 2 ist. Die Eselsbrücke für die Verdopplungszeit: ln 2 durch ln(1 + Zins), bei 5 Prozent 0,693 durch 0,0488, gleich 14,2 Jahre.

Drei Beispiele:

• lg(1.000): 3, denn 10³ = 1.000; ln(1.000) ist 6,907755, lb(1.000) 9,965784.
• ln(2): 0,693147, die wichtigste Konstante für Verdopplungen; lg(2) ist 0,30103, lb(2) ist 1.
• log₂(1.024): 10, weil 2¹⁰ = 1.024; log zur Basis 1,05 von 2 ist 14,206699, also verdoppelt sich Kapital bei 5 Prozent in gut 14 Jahren.

Formeln: log_b(x) = y ⟺ b^y = x, log_b(x) = ln(x) / ln(b), log(a × b) = log a + log b, log(aⁿ) = n × log a, Verdopplungszeit = ln 2 / ln(1 + p). Die Potenz, deren Umkehrung der Logarithmus ist, rechnet der Potenzrechner, und die Verdopplung von Kapital in Jahren mit Zinseszins der Zinseszinsrechner.

Wissenswertes zum Thema

Was der Logarithmus ist und warum es drei Standardbasen gibt

Die Potenz fragt "was ist 2 hoch 10", der Logarithmus fragt "2 hoch was ist 1.024", und die Antwort 10 ist der Logarithmus von 1.024 zur Basis 2; jede Basis über null außer 1 ist erlaubt, und drei haben eigene Namen, weil sie überall vorkommen. Der dekadische Logarithmus lg zur Basis 10 zählt Zehnerpotenzen und Stellen, lg(1.000) = 3, lg(1.000.000) = 6, und steckt in Dezibel, pH-Wert und Richterskala. Der natürliche Logarithmus ln zur Basis e = 2,71828 ist der Logarithmus des Wachstums und der Analysis, weil die Funktion e hoch x ihre eigene Ableitung ist, und ln(2) = 0,693147 ist die Konstante, die in jeder Verdopplungs- und Halbwertszeit steckt. Der binäre Logarithmus lb zur Basis 2 zählt Verdopplungen und Bits, lb(1.024) = 10, lb(256) = 8, und sagt, wie viele Ja-Nein-Fragen man braucht, um eine von 1.024 Möglichkeiten zu finden. Alle Logarithmen hängen über eine Formel zusammen, log zur Basis b von x ist ln(x) durch ln(b), und der Rechner rechnet genau so, 0,693147 durch 0,048790 gleich 14,206699 für die Basis 1,05, und zeigt immer alle drei Standardwerte mit. Logarithmen von Zahlen unter 1 sind negativ, lg(0,01) = minus 2, von 1 ist jeder Logarithmus null, und von null und negativen Zahlen gibt es keinen im Reellen; der Rechner verlangt deshalb eine Zahl über null. Die Rechengesetze machen aus Multiplikation Addition, log(a × b) = log a + log b, aus Potenzen Produkte, log(aⁿ) = n log a, und das ist der Grund, warum der Rechenschieber funktionierte und warum man Gleichungen wie 1,05^n = 2 durch Logarithmieren beider Seiten löst, n = ln 2 / ln 1,05. Die Potenz als Gegenstück, mit Rechenkette und Kehrwert, rechnet der Potenzrechner.

Logarithmen im Alltag: Zinsen, Dezibel, pH, Erdbeben, Bits

Die Verdopplungszeit ist die häufigste Alltagsfrage: Wann hat sich mein Geld bei 5 Prozent verdoppelt, log zur Basis 1,05 von 2 gleich 14,2 Jahre, bei 7 Prozent 10,2, bei 2 Prozent 35, und die 72er-Regel ist die Näherung ln 2 mal 100, gerundet und für mittlere Zinssätze korrigiert; die Halbwertszeit ist dieselbe Rechnung mit 0,5, und wie lange eine Bevölkerung, ein Virus, eine Investition braucht, um das 10-Fache zu erreichen, ist ln 10 durch ln(1 + Wachstumsrate). Dezibel sind zehnfacher dekadischer Logarithmus des Leistungsverhältnisses, 10 dB mehr sind 10-fache Leistung, 20 dB 100-fach, und weil das Ohr logarithmisch hört, klingen 10 dB mehr nur doppelt so laut. Der pH-Wert ist der negative dekadische Logarithmus der Wasserstoffionenkonzentration, pH 3 hat zehnmal so viele Ionen wie pH 4, Essig mit pH 3 ist tausendmal saurer als Wasser mit pH 7 und nicht viermal. Die Richterskala ist logarithmisch in der Amplitude, eine Stufe mehr ist zehnfacher Ausschlag und 31,6-facher Energieumsatz. Sterne haben logarithmische Helligkeitsklassen, Töne logarithmische Intervalle, eine Oktave ist eine Verdopplung der Frequenz, zwölf Halbtöne sind zwölf Wurzeln aus 2, und der binäre Logarithmus sagt, dass 20 Ja-Nein-Fragen eine Million Möglichkeiten unterscheiden, lb(1.000.000) = 19,93, und dass eine Suche in einer sortierten Liste mit einer Milliarde Einträgen 30 Schritte braucht. Der Logarithmus einer Zahl zur Basis 10 plus eins ist ihre Stellenzahl, und das nutzen Suchmaschinen, Datenbanken und der Potenzrechner. Wie der Zinseszins die Jahre bis zum Ziel zählt, zeigt der Zinseszinsrechner mit Tabelle.

Rechnen von Hand und typische Fehler

Von Hand gibt es zwei Wege: Logarithmen zur Basis 10 und e stehen auf jedem Taschenrechner als log und ln, und jede andere Basis rechnet man mit ln(x) durch ln(b), log zur Basis 1,05 von 2 gleich 0,6931 durch 0,0488; in Excel heißt das =LOG(2;1,05), =LN(2) oder =LOG10(1000). Der erste Fehler ist die Verwechslung von log und ln, auf vielen Taschenrechnern ist "log" die Basis 10, in Programmiersprachen wie Python und JavaScript ist log() der natürliche Logarithmus, und wer das vertauscht, bekommt Ergebnisse, die um den Faktor 2,3 danebenliegen. Der zweite ist log(a + b) = log a + log b, das gilt nicht, nur für Produkte. Der dritte ist der Logarithmus von null oder negativen Zahlen, der nicht existiert, und von 1, der null ist, was beim Teilen durch log(1) zum Absturz führt. Der vierte ist der Zinssatz als Prozentzahl statt Faktor, ln(5) statt ln(1,05). Der fünfte ist die Basis 1, die der Rechner ablehnt, weil 1 hoch alles 1 ist. Der sechste ist das Runden von ln(1,05) auf 0,05, was die Verdopplungszeit auf 13,9 statt 14,2 Jahre verfälscht, und der Grund, warum die 72er-Regel 69,3 heißen müsste und bei hohen Zinsen 72 passt. Der siebte sind die Rechengesetze in Klausuren, log(x²) = 2 log x nur für x über null, und log(x) / log(y) ist nicht log(x / y). Der achte ist das Ablesen des Logarithmus als Zahl der Nullen, lg(1.024) ist 3,01, nicht 3. Was Prozentsätze und Faktoren beim Logarithmieren unterscheidet, lässt sich mit dem Prozentrechner vorher klären.

Ein Stück Geschichte: Napiers Knochen und 20 Jahre Rechnen für eine Tafel

John Napier, ein schottischer Landadliger, der sich mit Theologie und Mathematik beschäftigte, veröffentlichte 1614 in Edinburgh die "Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio" mit der ersten Logarithmentafel, an der er zwanzig Jahre gerechnet hatte, um Astronomen und Seefahrern das Multiplizieren großer Zahlen zu ersparen, und das Wort schuf er aus dem Griechischen, "logos" und "arithmos", Verhältniszahl. Henry Briggs reiste 1615 nach Schottland, überredete Napier zur Basis 10, und veröffentlichte 1624 die ersten dekadischen Tafeln mit 14 Stellen, die Jost Bürgi in Prag unabhängig und früher berechnet, aber erst 1620 gedruckt hatte. Johannes Kepler nutzte die Tafeln sofort für die Planetenbahnen und schrieb, sie hätten seine Rechenzeit vervielfacht, und Edmund Gunter baute 1620 die logarithmische Skala auf ein Lineal, aus dem William Oughtred 1622 den Rechenschieber machte, das Werkzeug jedes Ingenieurs bis zum Taschenrechner 1972; die Apollo-Astronauten hatten noch einen an Bord. Leonhard Euler fand 1748 den Zusammenhang mit der Zahl e und machte den natürlichen Logarithmus zur Grundlage der Analysis, und die Logarithmentafel blieb bis in die 1970er Jahre Pflicht im Schulranzen, sieben- und später vierstellig, mit der "Mantisse", die man interpolierte. Die Dezibel kamen 1924 bei Bell Labs, benannt nach Alexander Graham Bell, der pH-Wert 1909 von Søren Sørensen in der Carlsberg-Brauerei, die Richterskala 1935. Der Rechner rechnet in Mikrosekunden, wofür Napier zwanzig Jahre brauchte.

Praktische Tipps

Prüfen Sie, ob log auf Ihrem Gerät Basis 10 oder e bedeutet. Rechnen Sie fremde Basen mit ln(x) durch ln(b). Nutzen Sie die eigene Basis im Rechner für Verdopplungs- und Zielzeiten, 1 plus Rate als Basis. Merken Sie sich ln 2 = 0,693 und lg 2 = 0,301. Logarithmieren Sie beide Seiten, wenn die Unbekannte im Exponenten steht. Addieren Sie Logarithmen nur bei Produkten. Lesen Sie Dezibel, pH und Erdbebenstärken als Zehnerpotenzen. Und machen Sie die Probe mit der Potenz, der Rechner zeigt sie. Für die Wurzel, die der Logarithmus mit gebrochenem Ergebnis beschreibt, nimmt man direkt den Wurzelrechner.