Median-Rechner
Median, Quartile, Interquartilsabstand und Mittelwert aus einer Zahlenliste.
Wie groß ist der Median meiner Zahlen?
Zahlen mit Leerzeichen getrennt eintragen.
Beispiel: Mieten 1.200, 1.350, 1.100, 2.900, 1.250, 1.400, 1.300 und 1.150 €: Median 1.275 €, Durchschnitt 1.456,25 €
So funktioniert der Median-Rechner
Der Median-Rechner nimmt eine Liste von Zahlen, durch Leerzeichen, Semikolon oder Zeilenumbruch getrennt, sortiert sie und gibt den Median aus, den Wert in der Mitte, dazu das untere und obere Quartil, den Interquartilsabstand, den Mittelwert zum Vergleich sowie Minimum und Maximum. Bei einer geraden Anzahl Werte ist der Median der Mittelwert der beiden mittleren, bei ungerader der Wert genau in der Mitte, und der Rechner zeigt, welche Werte er dafür genommen hat.
Merksatz: Der Median ist der Wert, bei dem die Hälfte der Daten darunter und die Hälfte darüber liegt, und er bleibt stehen, wenn ein Ausreißer die Liste verzerrt; der Mittelwert wandert mit. Die Eselsbrücke: Median ist die Mitte der Straße, der Mittelwert die Mitte des Geldes.
Drei Beispiele:
- Acht Mieten 1.200, 1.350, 1.100, 2.900, 1.250, 1.400, 1.300, 1.150: Median 1.275 € (Mitte aus 1.250 und 1.300), Mittelwert 1.456,25 €, Q1 1.187,50, Q3 1.362,50, IQR 175.
- Sieben Werte 12, 15, 9, 20, 14, 31, 8: sortiert 8, 9, 12, 14, 15, 20, 31, Median 14 als vierter Wert, Mittelwert 15,57, Q1 10,5, Q3 17,5, IQR 7.
- Fünf Noten 2, 2, 3, 1, 5: sortiert 1, 2, 2, 3, 5, Median 2, Mittelwert 2,6; die 5 zieht den Mittelwert hoch, den Median nicht.
Formeln: Median = mittlerer Wert der sortierten Liste, bei gerader Anzahl Mittel der beiden mittleren, Q1 an Position 0,25 × (n - 1) + 1, Q3 an Position 0,75 × (n - 1) + 1, dazwischen interpoliert, IQR = Q3 - Q1, Mittelwert = Summe / Anzahl. Den Mittelwert mit Gewichtung rechnet der Durchschnittsrechner, die Streuung um ihn der Standardabweichungsrechner.
Wissenswertes zum Thema
Median oder Mittelwert: Wann welcher Wert die Wahrheit sagt
Der Mittelwert ist die Summe durch die Anzahl, und er reagiert auf jeden einzelnen Wert, der Median ist die Mitte der sortierten Liste, und er reagiert nur auf die Reihenfolge; bei symmetrisch verteilten Daten wie Körpergrößen sind beide fast gleich, bei schiefen Daten mit Ausreißern gehen sie auseinander, und dann ist der Median der ehrlichere Wert. Die acht Mieten zeigen es: Sieben liegen zwischen 1.100 und 1.400 Euro, eine Penthouse-Wohnung bei 2.900, und der Mittelwert von 1.456,25 Euro liegt über allen sieben normalen Mieten, während der Median mit 1.275 Euro in der Mitte des Üblichen steht. Deshalb nennen Mietspiegel, Gehaltsstatistiken und Vermögensberichte den Median: Das Medianeinkommen in Deutschland lag 2024 bei knapp 44.000 Euro brutto im Jahr für Vollzeit, der Mittelwert rund 15 Prozent höher, weil wenige sehr hohe Gehälter ihn ziehen; das Medianvermögen der Haushalte liegt bei gut 100.000 Euro, der Mittelwert über 300.000. Ein berühmtes Beispiel ist die Kneipe, in der der Mittelwert der Gäste Millionär wird, sobald einer hereinkommt, und der Median sich nicht rührt. Umgekehrt hat der Mittelwert seine Berechtigung, wo die Summe zählt: Bei Kosten pro Person, Durchschnittsverbrauch und Erwartungswerten ist er der richtige, und in Prüfungen verlangt die Aufgabe meist beide. Der Modus, der häufigste Wert, ist der dritte Lagewert, bei den Noten die 2. Den Mittelwert mit Gewichtung, etwa für Zeugnisnoten, rechnet der Durchschnittsrechner.
Quartile, Interquartilsabstand und Boxplot
Die Quartile teilen die sortierten Daten in vier gleich große Gruppen: Unter dem ersten Quartil Q1 liegt ein Viertel der Werte, unter dem Median die Hälfte, unter dem dritten Quartil Q3 drei Viertel, und der Rechner bestimmt sie wie Excel durch Interpolation: Q1 liegt an Position 0,25 × (n - 1) + 1 der sortierten Liste, bei sieben Werten an Position 2,5, also zwischen 9 und 12 in der Mitte, 10,5; Q3 an Position 5,5 zwischen 15 und 20, 17,5. Bei den acht Mieten liegt Q1 an Position 2,75, drei Viertel des Wegs von 1.150 nach 1.200, 1.187,50 Euro. Die Schulmethode, Q1 als Median der unteren Hälfte ohne den Median selbst, ergäbe bei den sieben Werten 9 und 20, und es gibt mindestens neun Methoden, Quartile zu berechnen, Excel und Taschenrechner weichen voneinander ab, und für Klausuren gilt die Methode aus dem Unterricht. Der Interquartilsabstand IQR ist Q3 minus Q1, bei den Mieten 175 Euro, bei den sieben Werten 7, und er misst die Streuung der mittleren Hälfte, robust gegen Ausreißer, wie der Median gegen sie robust ist. Der Boxplot zeichnet das: eine Box von Q1 bis Q3 mit dem Median als Strich, Antennen bis zum kleinsten und größten Wert innerhalb von 1,5 IQR, und alles darüber als Punkt, bei den Mieten ist Q3 plus 1,5 mal 175 gleich 1.625, die 2.900 ist ein Ausreißer. Die Standardabweichung misst dieselbe Streuung mit dem Mittelwert als Bezug und ist bei Ausreißern empfindlich, der Standardabweichungsrechner rechnet sie für Stichprobe und Grundgesamtheit.
Rechnen von Hand und typische Fehler
Von Hand heißt: sortieren, zählen, Mitte suchen. Bei ungerader Anzahl n ist der Median der Wert an Position (n + 1) / 2, bei sieben Werten der vierte, 14; bei gerader Anzahl das Mittel der Positionen n / 2 und n / 2 + 1, bei acht Werten der vierte und fünfte, 1.250 und 1.300, Mittel 1.275. Der erste Fehler ist das Vergessen des Sortierens, der Median der unsortierten Liste 12, 15, 9, 20, 14, 31, 8 wäre 20, falsch. Der zweite ist das Mittel aus Minimum und Maximum, 8 und 31 ergeben 19,5, das ist die Spannweitenmitte, nicht der Median. Der dritte ist das Weglassen doppelter Werte, bei 1, 2, 2, 3, 5 bleibt jede 2 in der Liste, und der Median ist 2. Der vierte ist die Verwechslung bei Prozentangaben: "Die Hälfte verdient weniger als der Median" ist richtig, "die Hälfte verdient weniger als der Durchschnitt" fast immer falsch, in Deutschland sind es etwa 60 Prozent. Bei gruppierten Daten aus Tabellen mit Klassen wird der Median in der Klasse interpoliert, in der die 50 Prozent erreicht werden. Für große Listen kopiert man die Spalte aus der Tabelle in den Rechner, er versteht Leerzeichen, Semikolons und Zeilenumbrüche als Trenner und das Dezimalkomma in den Zahlen. Die Varianz als Quadrat der Standardabweichung, die neben Median und Quartilen in jeder Statistikaufgabe steht, rechnet der Varianz-Rechner.
Ein Stück Geschichte: Der Wert, den Galton zum Star machte
Der Median ist jünger als der Mittelwert, der seit der Antike in der Astronomie zur Fehlerausgleichung diente: Erst Roger Joseph Boscovich schlug 1760 vor, Beobachtungsfehler durch die Summe der absoluten Abweichungen auszugleichen, was auf den Median führt, und Laplace bewies 1774, dass der Median genau das minimiert, verwarf ihn aber zugunsten der Methode der kleinsten Quadrate, die Gauß und Legendre um 1805 zur Standardmethode machten. Antoine Augustin Cournot nannte 1843 den Wert "valeur médiane", Gustav Theodor Fechner führte ihn 1874 als "Centralwerth" in die deutsche Psychophysik ein, und Francis Galton machte ihn 1881 populär, indem er bei seinen Messungen an Tausenden Londonern bemerkte, dass sich der mittlere Mann einfacher bestimmen lässt als der durchschnittliche, und 1882 das Wort "median" prägte. Galtons berühmtes Experiment auf dem Viehmarkt von Plymouth 1906, bei dem 787 Besucher das Gewicht eines Ochsen schätzten, lieferte einen Median von 1.207 Pfund gegen 1.198 tatsächlich, und Galton empfahl den Median ausdrücklich, weil er von den verrückten Schätzungen unbeeinflusst blieb. Die Quartile stammen ebenfalls von Galton, 1879, und der Boxplot von John Tukey, der ihn 1977 in "Exploratory Data Analysis" einführte und die Regel mit 1,5 IQR festlegte. Im deutschen Mietrecht steht der Median seit der Mietspiegelreform 2022 ausdrücklich als zulässiger Wert, in der Einkommensstatistik seit den 1970er Jahren. Der Rechner rechnet den Wert, den Galton am Ochsen bewies.
Praktische Tipps
Sortieren Sie vor dem Suchen der Mitte, immer. Nennen Sie bei schiefen Daten den Median, bei Summen den Mittelwert, bei Prüfungen beide. Prüfen Sie mit dem Interquartilsabstand, ob ein Wert ein Ausreißer ist, die Grenze liegt bei 1,5 IQR über Q3. Fragen Sie bei Quartilen nach der Methode, wenn Ihr Ergebnis von der Lösung abweicht. Lassen Sie doppelte Werte in der Liste. Kopieren Sie Spalten direkt aus der Tabelle in das Feld. Und lesen Sie Gehaltsstatistiken auf das Wort Median, nicht Durchschnitt. Für den Mittelwert aus Mieten je Quadratmeter mit Gewichtung nach Fläche hilft der Durchschnittsrechner.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Median und Mittelwert?
Der Mittelwert ist die Summe durch die Anzahl, der Median der mittlere Wert der sortierten Liste. Bei den acht Mieten liegt der Mittelwert wegen der 2.900 € bei 1.456,25 €, der Median bei 1.275 €. Ausreißer ziehen den Mittelwert, den Median nicht.
Wie berechne ich den Median bei gerader Anzahl?
Das Mittel der beiden mittleren Werte: Bei acht sortierten Mieten sind das der vierte und fünfte Wert, 1.250 und 1.300 €, Median 1.275 €. Bei ungerader Anzahl ist es der Wert genau in der Mitte, bei sieben Werten der vierte, im Beispiel 14.
Was sind Quartile?
Q1 ist der Wert, unter dem ein Viertel der Daten liegt, Q3 der, unter dem drei Viertel liegen; der Median ist Q2. Bei den sieben Werten 8 bis 31 sind Q1 10,5 und Q3 17,5. Es gibt mehrere Berechnungsmethoden, der Rechner interpoliert wie Excel zwischen den Positionen; die Schulmethode ergäbe hier 9 und 20.
Was ist der Interquartilsabstand?
Q3 minus Q1, die Spanne der mittleren Hälfte der Daten: 175 € bei den Mieten, 7 bei den sieben Werten. Er misst die Streuung robust gegen Ausreißer. Werte mehr als 1,5 IQR über Q3 oder unter Q1 gelten als Ausreißer, bei den Mieten ist die 2.900 € einer.
Warum nennen Gehaltsstatistiken den Median?
Weil wenige sehr hohe Gehälter den Mittelwert nach oben ziehen. Das Medianeinkommen von Vollzeitbeschäftigten liegt bei knapp 44.000 € im Jahr, der Mittelwert rund 15 Prozent höher. Etwa 60 Prozent verdienen weniger als der Durchschnitt, aber genau 50 Prozent weniger als der Median.
Wie gebe ich die Zahlen ein?
Durch Leerzeichen, Semikolon oder Zeilenumbruch getrennt, Dezimalzahlen mit Komma wie 1,5. Ein Komma als Trennzeichen funktioniert, wenn ein Leerzeichen folgt, sonst würde 1,5 als Dezimalzahl gelesen. Eine Spalte aus Excel oder einer Tabelle lässt sich direkt in das Feld kopieren. Doppelte Werte bleiben drin, sie gehören zur Verteilung.
Was ist der Median bei 1, 2, 2, 3, 5?
2, der dritte von fünf sortierten Werten. Der Mittelwert ist 2,6, der Modus als häufigster Wert ebenfalls 2. Die 5 zieht den Mittelwert hoch, Median und Modus bleiben stehen.
Was ist ein Boxplot?
Eine Grafik aus Q1, Median und Q3 als Box, mit Antennen bis zum kleinsten und größten Wert innerhalb von 1,5 IQR und Ausreißern als Punkte. Der Rechner liefert alle Werte dafür: Min, Q1, Median, Q3, Max und IQR.