Zahlensystem-Umrechner

So funktioniert der Zahlensystem-Umrechner

Der Zahlensystem-Umrechner wandelt Zahlen zwischen dem Dezimalsystem (Basis 10), dem Binärsystem (Basis 2), dem Oktalsystem (Basis 8), dem Hexadezimalsystem (Basis 16) und jeder anderen Basis bis 36 um. Der erste Kasten zeigt den Rechenweg so, wie er in der Schule verlangt wird: von der fremden Basis über die Stellenwerte ins Dezimalsystem, von dort über fortgesetzte Division mit Rest in die Zielbasis. Der zweite Kasten rechnet direkt binär oder hexadezimal: Addition, Subtraktion, Multiplikation, ganzzahlige Division und die Bitoperationen AND, OR und XOR, mit untereinander geschriebenen Bitmustern. Der dritte Kasten übersetzt Text in ASCII-Codes (dezimal, hexadezimal, binär) und umgekehrt Codes zurück in Text.

Drei Beispiele:

• 2026 dezimal in binär: 2026 / 2 = 1013 Rest 0, 1013 / 2 = 506 Rest 1, und so weiter bis 1 / 2 = 0 Rest 1; die Reste von unten nach oben gelesen ergeben 111 1110 1010, oktal 3752, hexadezimal 7EA, 11 Bit. Eine Million dezimal ist hexadezimal F4240, FF hexadezimal ist 255 dezimal, 777 oktal ist binär 1 1111 1111 (511).
• Binär 1011 + 110: 11 + 6 = 17, binär 1 0001, hexadezimal 11; weiter: 1101 × 101 = 100 0001 (13 × 5 = 65). Hexadezimal 1F AND 0F = F (31 AND 15 = 15), FF XOR 0F = F0 (255 XOR 15 = 240).
• "Hallo" in ASCII: dezimal 72 97 108 108 111, hexadezimal 48 61 6C 6C 6F, binär 01001000 01100001 01101100 01101100 01101111; alle fünf Zeichen liegen im 7-Bit-ASCII und belegen in UTF-8 je ein Byte. "rechner24" ergibt 114 101 99 104 110 101 114 50 52.

Die Regel: Eine Zahl in Basis b ist die Summe ihrer Ziffern mal b hoch Stellenposition, von rechts bei 0 gezählt; 7EA hexadezimal = 7 × 256 + 14 × 16 + 10 = 2026. Vier Binärstellen ergeben genau eine Hexadezimalziffer, drei Binärstellen eine Oktalziffer, deshalb lassen sich Binär, Oktal und Hex ohne Umweg über das Dezimalsystem ineinander übersetzen. Dateigrößen von Bit über Byte bis Terabyte rechnet der Datenmengen-Umrechner, Zehnerpotenzen und die Schreibweise sehr großer Zahlen der Rechner für wissenschaftliche Schreibweise, die Quersumme in beliebiger Basis der Quersummen-Rechner, und ob eine Zahl prim ist, der Primzahl-Rechner.

Wissenswertes zum Thema

Stellenwertsysteme: Warum 10, 2, 8 und 16

Alle gängigen Zahlensysteme sind Stellenwertsysteme: Der Wert einer Ziffer hängt von ihrer Position ab, und jede Position ist eine Potenz der Basis. Im Dezimalsystem sind das Einer, Zehner, Hunderter; im Binärsystem Einer, Zweier, Vierer, Achter. Zehn Ziffern haben wir, weil wir zehn Finger haben; zwei Ziffern nutzen Computer, weil ein Transistor nur die Zustände an und aus kennt. Das Hexadezimalsystem mit den Ziffern 0 bis 9 und A bis F ist die Kurzschrift der Programmierer: Ein Byte aus acht Bit passt genau in zwei Hexziffern, 1111 1111 wird zu FF, und Speicheradressen, Farbcodes (#FF8800) oder Prüfsummen sind so lesbar, ohne dass man 32 Nullen und Einsen zählen muss. Das Oktalsystem war in den 1960er-Jahren verbreitet, als Rechner mit 12, 24 oder 36 Bit arbeiteten, die sich in Dreiergruppen teilen lassen; heute begegnet es einem fast nur noch bei Unix-Dateirechten wie chmod 755. Die Umrechnung zwischen Binär, Oktal und Hex ist reines Gruppieren: 111 1110 1010 wird zu 7EA, indem man je vier Bit zusammenfasst, und zu 3752, wenn man je drei nimmt.

Rechnen im Binärsystem

Die Grundrechenarten funktionieren im Binärsystem wie im Dezimalsystem, nur mit einer kleineren Tafel: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 10 (Null mit Übertrag), 1 + 1 + 1 = 11. Die Multiplikation ist noch einfacher, weil jede Ziffer nur mit 0 oder 1 multipliziert wird, also entweder die Zahl verschoben kopiert oder eine Nullzeile erzeugt; so rechnen Prozessoren im Kern bis heute. Die Bitoperationen AND, OR und XOR vergleichen zwei Zahlen Stelle für Stelle: AND liefert 1, wenn beide Bits 1 sind, und dient als Maske, um einzelne Bits auszulesen (255 AND 15 = 15 behält die unteren vier Bit); OR setzt Bits (240 OR 15 = 255); XOR kippt Bits und ist die Grundlage einfacher Verschlüsselung und von Prüfsummen, denn zweimal XOR mit demselben Wert stellt das Original wieder her. Negative Zahlen stellen Computer im Zweierkomplement dar: Alle Bits kippen, eins addieren; bei acht Bit ist 11111111 die Zahl -1. Der Rechner hier arbeitet mit ganzen Zahlen bis rund 9 Billiarden und zeigt negative Ergebnisse mit Vorzeichen, Bitoperationen für positive Zahlen bis 32 Bit.

ASCII, Unicode und UTF-8

ASCII (American Standard Code for Information Interchange) von 1963 ordnet 128 Zeichen den Zahlen 0 bis 127 zu: 0 bis 31 sind Steuerzeichen wie Zeilenumbruch (10) und Tabulator (9), 32 das Leerzeichen, 48 bis 57 die Ziffern, 65 bis 90 die Großbuchstaben, 97 bis 122 die Kleinbuchstaben. Groß- und Kleinbuchstabe unterscheiden sich um 32, also um ein einziges Bit, weshalb Programme Text so leicht umwandeln. Umlaute, ß, Eurozeichen und alle anderen Schriften der Welt fehlen in ASCII; sie kamen mit nationalen 8-Bit-Zeichensätzen wie ISO 8859-1 und schließlich mit Unicode, das heute über 150.000 Zeichen umfasst. UTF-8 kodiert Unicode so, dass die ersten 128 Zeichen mit ASCII identisch bleiben und ein Byte belegen, während ä, ö, ü und ß zwei Byte brauchen, chinesische Zeichen drei und Emojis vier. Der dritte Kasten zeigt deshalb neben der Zeichenzahl auch die Bytezahl in UTF-8; "Größe" hat fünf Zeichen, aber sieben Byte.

Ein Stück Geschichte

Das Binärsystem beschrieb Gottfried Wilhelm Leibniz 1703 in seiner Abhandlung über die "Explication de l'Arithmétique Binaire", angeregt von den 64 Hexagrammen des chinesischen I Ging, deren durchgezogene und gebrochene Linien er als Einsen und Nullen las; Leibniz sah darin ein Bild der Schöpfung aus Eins und Nichts. Praktisch wurde es erst mit der Elektrotechnik: Claude Shannon zeigte 1937 in seiner Masterarbeit, dass sich Schaltungen aus Relais mit boolescher Algebra beschreiben lassen, und Konrad Zuse baute 1941 mit der Z3 den ersten funktionsfähigen binären Rechner. Das Hexadezimalsystem setzte sich mit dem IBM System/360 von 1964 durch, das Bytes zu acht Bit festlegte und damit das Oktalsystem der älteren Maschinen verdrängte. ASCII wurde 1963 vom amerikanischen Normungsinstitut verabschiedet und 1968 von Präsident Johnson für alle Bundescomputer verbindlich gemacht; die 7-Bit-Beschränkung stammt aus der Zeit der Fernschreiber, deren achtes Bit als Prüfbit diente. Unicode startete 1991, UTF-8 entwarfen Ken Thompson und Rob Pike 1992 auf einer Serviette in einem Diner in New Jersey.

Praktische Tipps

Prägen Sie sich die Zweierpotenzen bis 2 hoch 10 ein (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024), dann geht die Umrechnung kleiner Zahlen im Kopf. Gruppieren Sie Binärzahlen immer in Viererblöcken von rechts, so lassen sich Hexziffern direkt ablesen. Merken Sie sich für Hex die Eselsbrücke A = 10, F = 15, FF = 255, FFFF = 65535. Prüfen Sie Ergebnisse über die Quersumme der Reste oder durch Rückrechnung. Und schreiben Sie bei Hausaufgaben den Weg der fortgesetzten Division vollständig auf, die Reste von unten nach oben; der Rechner zeigt genau diese Form.