Mischungsrechner

So funktioniert der Mischungsrechner

Der Mischungsrechner löst die drei Alltagsaufgaben der Mischungsrechnung. Der erste Kasten ist das Mischungskreuz (Andreaskreuz): Aus zwei Lösungen mit bekannter Konzentration soll eine Mischung mit Zielkonzentration und Gesamtmenge entstehen; die Differenzen über Kreuz liefern die Mischungsteile, der Rechner rechnet sie in Milliliter, Liter, Gramm oder Kilogramm um. Der zweite Kasten ist die Verdünnung nach c₁ × V₁ = c₂ × V₂: Drei der vier Größen eintragen, die vierte wird berechnet, dazu die Wassermenge und der Verdünnungsfaktor. Der dritte Kasten setzt eine Prozentlösung an: Wie viel Salz, Zucker, Konzentrat und wie viel Wasser für eine bestimmte Menge mit gewünschtem Prozentgehalt.

Drei Beispiele:

• Mischungskreuz, 70-prozentiger Alkohol und Wasser für 1.000 ml mit 40 Prozent: Teile 40 zu 30, also 571,43 ml der 70-%-Lösung und 428,57 ml Wasser; Kontrolle: (571,43 × 70 + 428,57 × 0) / 1.000 = 40. Aus 96-%- und 40-%-Lösung werden 500 ml mit 60 Prozent aus 178,57 und 321,43 ml.
• Verdünnung, 12-%-Konzentrat auf 500 ml mit 3 Prozent: V₁ = 3 × 500 / 12 = 125 ml Konzentrat plus 375 ml Wasser, Verdünnung 1 : 3, Faktor 4; und 50 ml einer 5-%-Lösung auf 2.000 ml ergeben 0,13 Prozent, Faktor 40.
• Prozentlösung, 1.000 g mit 5 Prozent aus reinem Salz: 50 g Salz und 950 g Wasser, Verhältnis 1 : 19. Zehn Liter Essigreiniger mit 0,2 Prozent aus 25-prozentiger Essigessenz: 0,08 Liter Essenz und 9,92 Liter Wasser.

Die Regeln: Beim Mischungskreuz ergibt Zielkonzentration minus schwächere Konzentration die Teile der stärkeren Lösung und stärkere minus Ziel die Teile der schwächeren; bei der Verdünnung bleibt die Stoffmenge gleich (c₁ × V₁ = c₂ × V₂); Prozent heißt Gramm Stoff je 100 Gramm fertiger Lösung. Dreisatz und Verhältnisse rechnet der Dreisatz-Rechner, Prozentwerte der Prozentrechner, die Chlor- und pH-Dosierung im Pool der Pool-Chlor-Rechner, die Anpassung von Rezeptmengen der Rezeptmengen-Rechner und den Alkoholgehalt von Getränken der Promillerechner.

Wissenswertes zum Thema

Das Mischungskreuz: Wie es funktioniert und warum

Das Mischungskreuz ist ein Rechenschema, das in Apotheken, Laboren, Brennereien und Schulen seit Jahrhunderten benutzt wird. Links oben steht die höhere Konzentration, links unten die niedrigere, in der Mitte die gewünschte; man subtrahiert über Kreuz und schreibt die Differenzen rechts: Oben rechts (Ziel minus niedrig) sind die Teile der starken Lösung, unten rechts (hoch minus Ziel) die Teile der schwachen. Für 40 Prozent aus 70 Prozent und Wasser: 40 - 0 = 40 Teile stark, 70 - 40 = 30 Teile Wasser, also 4 : 3. Dahinter steckt eine Bilanz: Die Stoffmenge der Mischung ist die Summe der Stoffmengen der Teile, m₁ × c₁ + m₂ × c₂ = (m₁ + m₂) × c, und nach m₁/m₂ aufgelöst ergibt das genau die Differenzen des Kreuzes. Das Schema funktioniert für alles, was sich linear mischt: Prozent, Promille, Milligramm je Liter, Temperaturen (40 Grad Badewasser aus 60 Grad heiß und 10 Grad kalt: 3 Teile heiß auf 2 Teile kalt), Preise in der Mischkalkulation, Fettgehalt von Milch, Legierungen. Es versagt, wo sich Volumen nicht addieren: Mischt man 500 ml reinen Alkohol mit 500 ml Wasser, entstehen nur etwa 970 ml, weil sich die Moleküle ineinander schieben (Volumenkontraktion); in Masse gerechnet stimmt es immer.

Verdünnen, Konzentrationen und die Sache mit "1 : 10"

Die Verdünnungsformel c₁ × V₁ = c₂ × V₂ sagt nur, dass beim Zugeben von Wasser die Menge des gelösten Stoffs gleich bleibt. Praktisch wichtig ist die Sprache: "1 : 10" bedeutet in Labor und Medizin meist ein Teil Konzentrat plus neun Teile Wasser (Gesamt zehn, Faktor 10), auf Putzmittel- und Düngerflaschen dagegen oft ein Teil Konzentrat auf zehn Teile Wasser (Gesamt elf, Faktor 11); der Rechner gibt beides an. Prozentangaben sind ebenfalls doppeldeutig: Massenprozent (Gramm je 100 Gramm Lösung) bei Salz, Zucker, Säuren, Volumenprozent (Milliliter je 100 Milliliter) bei Alkohol und Spirituosen, Masse je Volumen (Gramm je 100 Milliliter) bei manchen Arzneimitteln; bei Wasser als Lösungsmittel liegen die Unterschiede meist unter zwei Prozent, bei 40-prozentigem Alkohol macht die Dichte aber ein Viertel aus. Starke Verdünnungen, etwa 1 : 1.000 für ein Desinfektionsmittel, mischt man in zwei Schritten (erst 1 : 10, dann 1 : 100), weil sich 1 ml Konzentrat in einem Liter kaum genau abmessen lässt. Und die Reihenfolge: Erst das Wasser, dann die Säure, sonst spritzt es durch die Verdünnungswärme; bei Laugen und Desinfektionsmitteln gilt das ebenso.

Rezepte aus dem Alltag

Die Mischungsrechnung begegnet einem öfter, als man denkt. Kochsalzlösung zum Nasenspülen oder für Kontaktlinsen: 0,9 Prozent, also 9 Gramm Salz auf einen Liter Wasser. Zuckerwasser für Bienen im Herbst 3 : 2 (60 Prozent), im Frühjahr 1 : 1, für Kolibrifutter 1 : 4. Essigreiniger mit 5 Prozent aus Essigessenz (25 Prozent): ein Teil Essenz auf vier Teile Wasser. Desinfektionsmittel aus 96-prozentigem Ethanol auf 70 Prozent, die wirksamste Konzentration: 73 Teile Alkohol auf 27 Teile Wasser (nach Volumenkontraktion etwas mehr Wasser). Scheibenfrostschutz 1 : 2 für minus 20 Grad nach Herstellertabelle. Dünger mit 0,2 Prozent aus Flüssigkonzentrat: 2 ml je Liter. Pool: Chlorgranulat mit 56 Prozent Wirkstoff, 1 mg je Liter für 50 Kubikmeter sind 89 Gramm. Mörtel und Beton im Mischungsverhältnis 1 : 3 oder 1 : 4 (Zement zu Sand) nach Volumen. Und die Küche: Salzgehalt von Brühe und Lake (Gurken 5 bis 7 Prozent, Sauerkraut 2 Prozent), Zuckergehalt von Marmelade (Gelierzucker 1 : 1 oder 2 : 1 nach Masse Frucht zu Zucker).

Ein Stück Geschichte

Mischungsaufgaben gehören zu den ältesten Rechenaufgaben überhaupt: Der ägyptische Papyrus Rhind aus dem 16. Jahrhundert vor Christus mischt Brotsorten verschiedener Güte, chinesische Rechenbücher der Han-Zeit Hirse und Reis, und die mittelalterlichen Rechenmeister wie Adam Ries (1522) widmen der "Regula alligationis", der Legierungsregel, eigene Kapitel, weil Münzmeister Gold und Silber mischen mussten. Das Kreuzschema selbst wird dem italienischen Rechenmeister des 15. Jahrhunderts zugeschrieben und über Apotheker und Weinhändler verbreitet; in deutschen Apotheken heißt es bis heute Mischungskreuz oder Andreaskreuz, in englischen "alligation". Die Prozentrechnung mit Massen- und Volumenprozent setzte sich mit der Chemie des 19. Jahrhunderts durch, die Verdünnungsformel kam mit der Stoffmengenkonzentration nach Wilhelm Ostwald. Die Volumenkontraktion von Alkohol und Wasser beschrieb Dmitri Mendelejew 1865 in seiner Doktorarbeit über die Verbindung von Alkohol mit Wasser, die ihm später die Legende einbrachte, er habe den 40-prozentigen Wodka erfunden; tatsächlich legte ein Gesetz von 1894 die 40 Prozent fest, aus steuerlichen Gründen.

Praktische Tipps

Wiegen statt messen: Eine Küchenwaage ist genauer als jeder Messbecher, und Massenprozent sind eindeutig. Notieren Sie Konzentrationen immer mit Einheit (Massen- oder Volumenprozent, mg/l) und prüfen Sie, ob "1 : 10" den Faktor 10 oder 11 meint. Mischen Sie große Verdünnungen in Stufen, und geben Sie Konzentrate ins Wasser, nie umgekehrt. Beschriften Sie Mischungen mit Datum und Gehalt, besonders Desinfektionsmittel und Pflanzenschutz. Und wenn das Mischungskreuz eine Menge außerhalb der beiden Konzentrationen verlangt, hilft kein Rechnen: Stärker als die stärkste Zutat wird keine Mischung.