Grenzwert-Rechner

So funktioniert der Grenzwert-Rechner

Der Grenzwert-Rechner bestimmt den Limes einer gebrochen-rationalen Funktion f(x) = Zähler / Nenner, entweder für x gegen eine Stelle x₀ oder für x gegen plus oder minus unendlich. Er zeigt den Grenzwert, erklärt die Art der Stelle, hebbare Lücke, Polstelle mit Vorzeichenwechsel oder ohne, und gibt für den Weg ins Unendliche die Asymptote an, waagerecht oder schief. Zur Kontrolle rechnet er Funktionswerte links und rechts von x₀, bei 1,99 und 2,01, damit man sieht, wohin die Funktion läuft.

Merksatz: Der Grenzwert fragt nicht, was bei x₀ passiert, sondern was kurz davor und kurz danach passiert. Die Eselsbrücke für unendlich: Zählergrad kleiner als Nennergrad gibt 0, gleich gibt das Verhältnis der Leitkoeffizienten, größer gibt unendlich, und bei genau eins mehr eine schiefe Asymptote.

Drei Beispiele:

• (x² - 4) / (x - 2) für x gegen 2: Grenzwert 4, hebbare Lücke, denn x² - 4 = (x - 2)(x + 2) und gekürzt bleibt x + 2. Bei 1,99 ist der Wert 3,99, bei 2,01 ist er 4,01.
• (2x² + 3x) / (x² - 1) für x gegen unendlich: Grenzwert 2, waagerechte Asymptote y = 2, weil beide Grade gleich sind und 2 / 1 das Verhältnis der Leitkoeffizienten ist.
• 1 / x für x gegen 0: Polstelle mit Vorzeichenwechsel, von links minus unendlich, von rechts plus unendlich, kein Grenzwert.

Die Regeln: lim f/g = lim f / lim g, wenn der Nenner nicht gegen 0 geht; bei 0/0 kürzen oder L'Hospital; bei Zahl/0 Polstelle. Die Nullstellen von Zähler und Nenner, die man dafür braucht, liefert der Nullstellen-Rechner, die Ableitungen für L'Hospital der Ableitungsrechner.

Wissenswertes zum Thema

Grenzwert an einer Stelle: Lücke oder Pol

Bei x gegen x₀ setzt man zuerst ein. Kommt eine Zahl heraus, ist das der Grenzwert, die Funktion ist stetig. Kommt Zahl durch 0 heraus, liegt eine Polstelle vor, die Funktion geht nach plus oder minus unendlich, und ob sie das Vorzeichen wechselt, hängt von der Vielfachheit der Nennernullstelle ab: ungerade wie bei 1/x wechselt, gerade wie bei 1/x² nicht, da geht es auf beiden Seiten nach plus unendlich. Kommt 0 durch 0 heraus, ist nichts entschieden: Dann haben Zähler und Nenner die gemeinsame Nullstelle x₀, man zerlegt beide in Linearfaktoren und kürzt (x - x₀), so oft es geht, und setzt erneut ein; bleibt eine Zahl, ist es eine hebbare Lücke, bleibt Zahl durch 0, doch ein Pol. Bei (x² - 4) / (x - 2) kürzt sich (x - 2) weg, bleibt x + 2 und der Grenzwert 4; bei (x² - 4) / (x - 2)² bleibt (x + 2) / (x - 2), ein Pol. Der Rechner macht das Kürzen selbst und zeigt zur Anschauung die Werte bei x₀ ± 0,01, die sich dem Grenzwert von beiden Seiten nähern, 3,99 und 4,01 im Beispiel. Der Alternativweg bei 0/0 ist die Regel von L'Hospital: Zähler und Nenner getrennt ableiten und den Grenzwert des neuen Bruchs nehmen, 2x / 1 bei x = 2 gibt ebenfalls 4; er funktioniert auch bei Funktionen mit Sinus, Exponential und Logarithmus, die der Rechner nicht annimmt. Die Linearfaktoren für das Kürzen findet die Polynomdivision.

Grenzwert im Unendlichen: Die drei Fälle und die Asymptoten

Für x gegen unendlich zählt nur die höchste Potenz, alles andere wird dagegen unbedeutend. Man teilt Zähler und Nenner durch die höchste Potenz des Nenners und lässt die Brüche mit x im Nenner gegen 0 gehen. Ist der Zählergrad kleiner, geht die Funktion gegen 0, die x-Achse ist waagerechte Asymptote. Sind die Grade gleich, ist der Grenzwert das Verhältnis der Leitkoeffizienten, bei (2x² + 3x) / (x² - 1) also 2, Asymptote y = 2, und die Funktion kommt dieser Geraden beliebig nah, kann sie aber auch schneiden. Ist der Zählergrad größer, geht die Funktion gegen plus oder minus unendlich, und das Vorzeichen hängt von den Leitkoeffizienten und davon ab, ob x nach plus oder minus unendlich läuft; (3x³ + 1) / x² geht nach plus unendlich für x gegen plus unendlich und nach minus unendlich für x gegen minus unendlich. Ist der Zählergrad genau um eins größer, liefert die Polynomdivision eine Gerade als schiefe Asymptote, 3x + 1/x² gibt y = 3x; bei größerem Unterschied eine Näherungsparabel. Der Rechner nennt den Grenzwert und die Asymptote, und wer die Funktion zeichnet, braucht nur noch die Nullstellen und die Pole. Für die Nullstellen des Zählers reicht oft der Rechner für quadratische Gleichungen.

Grenzwerte, die der Rechner nicht löst, und was man dort tut

Der Rechner ist auf Brüche aus Polynomen gebaut, die Kurvendiskussion der Oberstufe. Außerhalb gibt es drei Werkzeuge. Für Ausdrücke wie sin(x)/x für x gegen 0, Grenzwert 1, oder (eˣ - 1)/x, ebenfalls 1, nimmt man L'Hospital oder kennt die Standardgrenzwerte auswendig. Für Wurzeln wie √(x² + x) - x erweitert man mit der dritten binomischen Formel und bekommt 1/2. Für Folgen und Reihen, (1 + 1/n)ⁿ gegen e, die geometrische Reihe gegen 1/(1 - q), gelten eigene Sätze, und die Definition dahinter ist das Epsilon-Delta-Kriterium: Der Grenzwert ist L, wenn man zu jedem noch so kleinen Abstand ε eine Umgebung von x₀ findet, in der f näher als ε an L liegt. Das klingt abstrakt und ist genau das, was die Werte bei 1,99 und 2,01 zeigen, nur mit Beweis. Zwei Warnungen: Numerisches Einsetzen täuscht, 0,0001 kann noch weit vom Grenzwert sein, wenn die Funktion langsam konvergiert, und "unendlich" ist keine Zahl, mit der man rechnet, ∞ - ∞ und 0 · ∞ sind unbestimmt, nicht null. Wer Reihen summiert, findet im Potenzrechner die Glieder.

Ein Stück Geschichte: Der Streit um das Unendlich Kleine

Als Newton und Leibniz um 1670 die Infinitesimalrechnung erfanden, rechneten sie mit unendlich kleinen Größen, die mal null waren, wenn es passte, und mal nicht; der Bischof Berkeley spottete 1734 über die "Geister verstorbener Größen", und er hatte recht, die Grundlage fehlte. Den Begriff des Grenzwerts formulierte d'Alembert 1765 in der Encyclopédie, "eine Größe, der sich eine andere nähert, ohne sie je zu überschreiten", aber erst Cauchy baute 1821 in seinem "Cours d'analyse" die Analysis auf dem Grenzwert auf und definierte damit Stetigkeit, Ableitung und Integral neu. Die Epsilon-Delta-Definition, die heute in jeder Vorlesung steht, stammt von Weierstraß, der sie in den 1860ern in Berlin lehrte und die Analysis endgültig vom Anschauungsargument befreite; Bolzano hatte sie 1817 in Prag schon ähnlich aufgeschrieben, ohne dass jemand es las. L'Hospitals Regel stammt nicht von L'Hospital, sondern von Johann Bernoulli, der sie dem Marquis 1694 für ein Jahresgehalt überließ, und L'Hospital druckte sie 1696 im ersten Lehrbuch der Differentialrechnung. Das Zeichen lim führte Weierstraß ein, den Pfeil unter dem lim Hardy 1908. Der Rechner setzt 1,99 und 2,01 ein, wie d'Alembert es gemacht hätte, und kürzt, wie Cauchy es verlangte.

Praktische Tipps

Setzen Sie zuerst ein und entscheiden Sie dann: Zahl, Zahl durch 0 oder 0 durch 0. Zerlegen Sie bei 0/0 Zähler und Nenner in Linearfaktoren und kürzen Sie, oder leiten Sie beide nach L'Hospital ab. Bestimmen Sie bei Polen das Vorzeichen links und rechts, indem Sie Werte knapp daneben einsetzen. Für x gegen unendlich vergleichen Sie nur die höchsten Potenzen. Schreiben Sie in der Klausur die Umformung auf, nicht nur die Zahl. Und zeichnen Sie Asymptoten gestrichelt ein, bevor Sie die Kurve skizzieren, dann stimmt der Verlauf. Die Steigung der schiefen Asymptote prüfen Sie mit dem Ableitungsrechner: Für große x nähert sich f'(x) ihr an.