Stammfunktion-Rechner (Integral)

So funktioniert der Stammfunktion-Rechner (Integral)

Der Stammfunktion-Rechner ist das Gegenstück zum Ableitungsrechner: Er findet zu einem Polynom f(x) die Funktion F(x), deren Ableitung wieder f ist, mit der Potenzregel rückwärts und dem Rechenweg Glied für Glied. Trägt man zwei Grenzen ein, berechnet er das bestimmte Integral F(b) - F(a) und, als eigene Zeile, die geometrische Fläche zwischen Kurve und x-Achse, bei der Teile unterhalb der Achse nicht negativ zählen, sondern an den Nullstellen getrennt und als Beträge addiert werden.

Merksatz: Exponent um eins hoch, dann durch den neuen Exponenten teilen, plus C. Die Eselsbrücke fürs Integral: Oben minus unten, also F(obere Grenze) minus F(untere Grenze), und das C fällt dabei weg. Wer eine Stammfunktion berechnen will, macht also die Ableitung rückwärts, und die Probe ist das Ableiten des Ergebnisses.

Drei Beispiele:

• f(x) = 6x² - 4x + 3 von 0 bis 2: F(x) = 2x³ - 2x² + 3x + C, Integral F(2) - F(0) = 14 - 0 = 14, Fläche ebenfalls 14, weil die Kurve im Intervall über der Achse liegt.
• f(x) = x³ - x von -1 bis 1: F(x) = 0,25x⁴ - 0,5x² + C, Integral 0, weil sich die Fläche links oberhalb und rechts unterhalb der Achse aufheben; die tatsächliche Fläche ist 0,5, getrennt an der Nullstelle 0.
• f(x) = x² von 0 bis 3: F(x) = x³/3, als Dezimalzahl 0,3333x³, Integral 9, Fläche 9.

Die Regeln: ∫ a·xⁿ dx = a / (n + 1) · xⁿ⁺¹ + C, Summenregel: gliedweise integrieren, Hauptsatz: ∫ von a bis b f(x) dx = F(b) - F(a), Fläche: an den Nullstellen im Intervall aufteilen und Beträge addieren. Die Nullstellen dafür findet der Nullstellen-Rechner, die Gegenrichtung mit Steigung und Extrempunkten der Ableitungsrechner.

Wissenswertes zum Thema

Stammfunktion, unbestimmtes und bestimmtes Integral

Eine Stammfunktion ist nicht eindeutig: Zu f(x) = 2x passt x² ebenso wie x² + 5 oder x² - 100, weil die Konstante beim Ableiten verschwindet; deshalb schreibt man + C, die Integrationskonstante, und die Menge aller Stammfunktionen heißt unbestimmtes Integral. Das bestimmte Integral mit Grenzen ist dagegen eine Zahl, und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sagt, dass man es über eine beliebige Stammfunktion ausrechnen kann, F(b) - F(a), weil C sich dabei weghebt. Die Zahl ist die orientierte Fläche zwischen Graph und x-Achse: Stücke oberhalb zählen positiv, Stücke unterhalb negativ, und wenn man die Grenzen vertauscht, dreht sich das Vorzeichen um. Das ist der Grund, warum x³ - x von -1 bis 1 null ergibt, obwohl zwischen Kurve und Achse sichtbar Fläche liegt: links liegt die Kurve oben, rechts unten, gleich groß, Summe null. Für die geometrische Fläche sucht der Rechner die Nullstellen im Intervall, integriert stückweise und addiert die Beträge, bei x³ - x also 0,25 plus 0,25. In Physik und Technik ist das Integral der Weg aus der Geschwindigkeit, die Arbeit aus der Kraft, die Ladung aus dem Strom, immer "Fläche unter der Kurve", und in der Wahrscheinlichkeitsrechnung die Wahrscheinlichkeit als Fläche unter der Dichte.

Die Regeln und was der Rechner kann

Für Polynome gilt die Potenzregel rückwärts: xⁿ wird zu xⁿ⁺¹/(n + 1), also x² zu x³/3 und x zu x²/2, eine Konstante a zu a·x, und die Summenregel erlaubt, Glied für Glied vorzugehen; Faktoren bleiben stehen. Der Rechner schreibt die Koeffizienten als Dezimalzahlen, x³/3 erscheint als 0,3333x³, was in der Klausur besser als Bruch notiert wird. Die Ausnahme der Potenzregel, 1/x, dessen Stammfunktion ln|x| ist, kann der Rechner nicht, ebenso wenig e^x, Sinus und Cosinus, die ihre eigenen Stammfunktionen haben, e^x, -cos und sin, oder Funktionen, bei denen man Substitution oder partielle Integration braucht, das Gegenstück zu Ketten- und Produktregel. Was er kann: jedes Polynom, auch als Produkt oder Potenz von Klammern eingetippt, mit Grenzen in beliebiger Reihenfolge, auch negativen und Dezimalzahlen. Die Zeile "F(b) - F(a)" zeigt die beiden Funktionswerte, damit man den Rechenweg nachvollzieht, die Zeile "Nullstellen im Intervall" die Stellen, an denen für die Fläche getrennt wurde. Für numerische Integrale beliebiger Funktionen, etwa aus Messdaten, braucht man Trapez- oder Simpsonregel, die der Rechner nicht anbietet. Das zugehörige Polynom selbst und seine Form untersucht der Nullstellen-Rechner.

Flächen zwischen zwei Kurven und andere Klausuraufgaben

Die Fläche zwischen zwei Funktionen f und g berechnet man als Integral der Differenz f - g zwischen ihren Schnittpunkten, wobei man die Schnittpunkte zuerst über f(x) = g(x) bestimmt; der Rechner übernimmt den Teil, wenn man die Differenz als Term eingibt, bei f(x) = x² und g(x) = x + 2 also -x² + x + 2 von -1 bis 2, was 4,5 ergibt. Rotationskörper, das Volumen beim Drehen um die x-Achse, sind pi mal das Integral von f(x)², also wieder ein Polynom, das man quadriert eingibt und dessen Ergebnis man mit pi multipliziert. Mittelwerte einer Funktion über ein Intervall sind das Integral geteilt durch die Intervalllänge. Und die häufigste Fehlerquelle: Wer die Fläche unter einer Kurve berechnen soll, die teilweise unter der Achse liegt, und einfach F(b) - F(a) hinschreibt, bekommt die orientierte Fläche, nicht die geometrische; die Aufgabe "Fläche, die der Graph mit der x-Achse einschließt" verlangt die Trennung an den Nullstellen. Die Zeile "Fläche (Beträge)" im Rechner ist genau das. Für Flächen einfacher geometrischer Figuren ohne Integral gibt es den Flächenrechner.

Ein Stück Geschichte: Archimedes und der Hauptsatz

Flächen unter Kurven berechnete Archimedes um 250 v. Chr. mit der Exhaustionsmethode: Er füllte das Parabelsegment mit immer kleineren Dreiecken und bewies, dass die Fläche vier Drittel des eingeschriebenen Dreiecks ist, im Prinzip eine Grenzwertrechnung, 1.900 Jahre vor dem Begriff. Cavalieri rechnete 1635 mit "unteilbaren" Linien, Fermat fand um 1640 die Formel für die Fläche unter xⁿ, also die Potenzregel des Rechners, und Newton und Leibniz erkannten um 1670, dass Flächenberechnung und Tangentenproblem Umkehrungen voneinander sind, der Hauptsatz, der das Integrieren vom mühsamen Grenzwert zur Suche nach einer Stammfunktion machte. Das Integralzeichen ist ein langgezogenes S für "Summa", von Leibniz 1675 eingeführt, dx ebenfalls. Riemann gab dem Integral 1854 die strenge Definition über Ober- und Untersummen, die in der Schule gelehrt wird, Lebesgue 1902 eine allgemeinere. Der Rechner nutzt den Hauptsatz und die Potenzregel von Fermat, mehr braucht ein Polynom nicht.

Praktische Tipps

Schreiben Sie das Ergebnis des Rechners in der Klausur mit Brüchen, 0,3333x³ ist x³/3, und vergessen Sie das + C bei der unbestimmten Stammfunktion nicht, die Korrektur zieht dafür Punkte ab. Prüfen Sie die Stammfunktion durch Ableiten, das dauert zehn Sekunden. Lesen Sie die Aufgabe genau: "Integral" heißt F(b) - F(a) mit Vorzeichen, "Fläche" heißt Trennung an den Nullstellen, der Rechner zeigt beides. Bei Flächen zwischen zwei Kurven erst die Schnittpunkte berechnen, dann die Differenz eingeben. Geben Sie Grenzen als Dezimalzahl ein, 1/2 als 0,5. Und nutzen Sie die Zeile "F(b) - F(a)", um den eigenen Rechenweg zu vergleichen, dort sieht man, ob ein Vorzeichen beim Einsetzen negativer Grenzen verrutscht ist. Wie Potenzen mit Brüchen im Exponenten gerechnet werden, zeigt der Potenzrechner.