Flächenrechner

So funktioniert der Flächenrechner

Der Flächenrechner berechnet den Flächeninhalt der zehn Formen, die in Geometrie und Alltag vorkommen: Kreis, Dreieck aus Grundseite und Höhe oder aus drei Seiten, Trapez, Parallelogramm, Raute aus den Diagonalen, Ellipse, regelmäßiges Sechseck, Kreisring und Kreissektor. Form wählen, Maße eintragen, und der Rechner zeigt die Fläche mit der verwendeten Formel, die Umrechnung in Quadratmeter und Quadratmillimeter und, wo es eine Formel gibt, den Umfang.

Merksatz: Grundseite mal Höhe, beim Dreieck halbiert, beim Trapez mit der mittleren Breite. Die Eselsbrücke für den Kreis: Pi r Quadrat für die Fläche, zwei Pi r für den Umfang, und wer Durchmesser hat, halbiert zuerst. Wer eine Fläche berechnen will, zerlegt krumme Grundstücke und Räume in diese Formen und addiert.

Drei Beispiele:

• Trapez mit 8 cm unten, 5 cm oben, 4 cm Höhe: (8 + 5) / 2 mal 4 gleich 26 cm², als Quadratmeter 0,0026, in Quadratmillimetern 2.600.
• Kreis mit 5 cm Radius: Pi mal 25 gleich 78,54 cm², Umfang 31,42 cm. Ein runder Tisch mit 60 cm Radius hat 1,13 Quadratmeter.
• Grundstück als Trapez mit 25 und 19 Metern Breite und 32 Metern Tiefe: 22 mal 32 gleich 704 Quadratmeter, die Zahl für Grundsteuer, Kaufpreis je Quadratmeter und Zaunlänge.

Die Formeln: Kreis π·r², Dreieck g·h/2, Dreieck aus drei Seiten nach Heron √(s(s-a)(s-b)(s-c)), Trapez (a+c)/2·h, Parallelogramm g·h, Raute e·f/2, Ellipse π·a·b, Sechseck 3/2·√3·a², Kreisring π·(R²-r²), Sektor π·r²·α/360. Für Körper mit Volumen gibt es den Volumenrechner, für Quadratmeter in Hektar, Ar und Quadratfuß den Flächen-Umrechner.

Wissenswertes zum Thema

Die Formeln und ihre Verwandtschaft

Fast alle Flächenformeln sind Varianten des Rechtecks. Das Parallelogramm ist ein Rechteck, bei dem ein Dreieck von links nach rechts geschoben wurde, also Grundseite mal Höhe, wobei die Höhe senkrecht gemessen wird, nicht die schräge Seite. Das Dreieck ist ein halbes Parallelogramm, deshalb durch zwei, und das Trapez ist ein Rechteck mit der mittleren Breite, dem Durchschnitt der beiden parallelen Seiten, mal Höhe; die Raute ist ein Rechteck aus den halben Diagonalen, e mal f durch zwei, und das regelmäßige Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken. Für das Dreieck aus drei Seiten ohne Höhe gilt die Formel von Heron, bei der s der halbe Umfang ist; sie funktioniert nur, wenn die drei Seiten ein Dreieck bilden können, die längste muss kürzer sein als die anderen beiden zusammen, sonst meldet der Rechner einen Fehler. Der Kreis ist der Sonderfall: Seine Fläche π·r² kann man als Rechteck aus halbem Umfang und Radius verstehen, wenn man ihn in unendlich viele Tortenstücke schneidet und sie abwechselnd aneinanderlegt, und genau so findet der Sektor seine Formel, Kreisfläche mal Winkel durch 360. Die Ellipse ist ein gestreckter Kreis mit den Halbachsen a und b, Fläche π·a·b, aber ihr Umfang hat keine einfache Formel, weshalb der Rechner ihn weglässt, nur Ramanujans Näherung kommt nah heran. Der Kreisring ist der große Kreis minus den kleinen. Die Volumen der zugehörigen Körper liefert der Volumenrechner.

Einheiten und die Falle beim Umrechnen

Flächen haben die Einheit der Länge hoch zwei, und die Umrechnung geht mit dem Quadrat des Längenfaktors: 1 Meter sind 100 Zentimeter, 1 Quadratmeter aber 10.000 Quadratzentimeter, 1 Quadratkilometer eine Million Quadratmeter, ein Hektar 10.000 Quadratmeter und ein Ar 100. Der Rechner zeigt das Ergebnis in der eingegebenen Einheit hoch zwei und rechnet für den Fall Zentimeter in Quadratmeter und Quadratmillimeter um; wer in Metern eingibt, liest Quadratmeter direkt. Im Alltag rechnet man Wohnfläche nach der Wohnflächenverordnung, bei der Dachschrägen unter einem Meter nicht und zwischen ein und zwei Metern zur Hälfte zählen, Balkone meist zu einem Viertel bis zur Hälfte; Grundstücksflächen stehen im Grundbuch und im Liegenschaftskataster, Fliesen und Laminat werden nach Fläche plus 10 Prozent Verschnitt gekauft, Farbe nach Wandfläche minus Fenster und Türen, Rasensaat und Dünger nach Quadratmetern Rasen. Amerikanische Maße, Quadratfuß und Acre, sind der Faktor 0,0929 beziehungsweise 4.047 Quadratmeter, und die Umrechnung macht der Flächen-Umrechner. Typische Fehler: Durchmesser als Radius, schräge Seite als Höhe, und bei Formen mit Winkeln Grad und Bogenmaß verwechseln; der Sektor im Rechner will Grad. Was die Fläche an Bodenbelag kostet, rechnet der Laminat-Rechner mit Verschnitt.

Krumme Flächen: Zerlegen, Näherung, Messen

Kein Grundstück ist ein Trapez und kein Zimmer ein Rechteck, aber jedes lässt sich in Rechtecke, Dreiecke und Trapeze zerlegen, die man einzeln rechnet und addiert; L-förmige Räume sind zwei Rechtecke, Erker ein halbes Sechseck oder ein Kreissektor, Giebelwände ein Rechteck plus Dreieck. Für ganz unregelmäßige Flächen, einen Teich oder ein Beet, hilft die Trapezmethode: In gleichen Abständen die Breite messen, die Breiten mitteln und mit der Länge multiplizieren, was mit zehn Messungen auf 2 bis 3 Prozent genau wird. Landvermesser nutzen die Gaußsche Trapezformel mit Koordinaten der Eckpunkte, die der Rechner nicht anbietet, die aber jedes GIS und jede Vermessungs-App beherrscht, und Google Maps hat ein Flächenmesswerkzeug, mit dem man Grundstücke aus dem Satellitenbild auf 5 Prozent genau bekommt. Beim Kreis gilt in der Praxis: Pi gleich 3,14 reicht für Tischplatten, 3,1416 für Technik, und die Faustregel "Durchmesser zum Quadrat mal 0,785" ist der schnelle Weg für den Kopf. Für die Fläche unter einer Kurve, die keine geometrische Form ist, braucht man das Integral, das der Stammfunktion-Rechner für Polynome liefert.

Ein Stück Geschichte: Die Feldmesser vom Nil

Geometrie heißt Erdmessung, und sie entstand in Ägypten, wo nach jeder Nilflut die Grundstücksgrenzen neu gezogen werden mussten; der Papyrus Rhind von 1550 v. Chr. enthält Flächenformeln für Rechteck, Dreieck und Trapez und für den Kreis die Näherung, den Durchmesser um ein Neuntel zu kürzen und zu quadrieren, was Pi gleich 3,16 entspricht. Die Babylonier nahmen Pi gleich 3, Archimedes grenzte es um 250 v. Chr. mit Vielecken zwischen 3,1408 und 3,1429 ein, und Heron von Alexandria schrieb um 60 n. Chr. die Formel für das Dreieck aus drei Seiten auf, die wahrscheinlich schon Archimedes kannte. Die Landvermessung mit Messkette und Winkel blieb bis ins 19. Jahrhundert Handwerk, Gauß vermaß ab 1821 das Königreich Hannover mit dem Heliotrop und berechnete dabei Flächen mit seiner Trapezformel, und das preußische Kataster von 1861 bis 1875 vermaß jedes Grundstück, die Grundlage der heutigen Grundbücher. Die Wohnflächenverordnung von 2004 regelt, was in Deutschland als Wohnfläche zählt, der Vorläufer von 1950 war die II. Berechnungsverordnung. Der Rechner rechnet mit den Formeln vom Nil, Pi auf 15 Stellen.

Praktische Tipps

Geben Sie alle Maße in derselben Einheit ein, bei Grundstücken und Räumen in Metern, bei Werkstücken in Zentimetern oder Millimetern. Messen Sie Höhen senkrecht zur Grundseite, nicht entlang der schrägen Kante. Halbieren Sie Durchmesser zum Radius. Zerlegen Sie unregelmäßige Flächen in Rechtecke und Trapeze und addieren Sie die Teile, mit einer Skizze. Rechnen Sie für Fliesen, Laminat und Tapete 10 Prozent Verschnitt dazu, bei Diagonalverlegung 15. Ziehen Sie Fenster und Türen von Wandflächen ab, wenn Sie Farbe kaufen, und prüfen Sie, ob Ihre Wohnfläche nach Wohnflächenverordnung gerechnet ist, bevor Sie eine Miete je Quadratmeter vergleichen. Wie viel Tapete die Wandfläche braucht, zeigt der Tapeten-Rechner.