Vektorrechner

So funktioniert der Vektorrechner

Der Vektorrechner deckt die drei Grundrechnungen der Vektorgeometrie ab. Der erste Kasten bestimmt zu einem Vektor den Betrag, also seine Länge, den Einheitsvektor in dieselbe Richtung und die Winkel zu den Koordinatenachsen, in der Ebene wie im Raum. Der zweite Kasten berechnet das Skalarprodukt zweier Vektoren und daraus den Winkel zwischen den Vektoren, erkennt Orthogonalität und Parallelität und liefert die Projektion des einen auf den anderen. Der dritte Kasten rechnet das Kreuzprodukt zweier Raumvektoren mit Normaleneinheitsvektor und Parallelogrammfläche und auf Wunsch das Spatprodukt mit einem dritten Vektor, also das Volumen des aufgespannten Spats.

Merksatz: Skalarprodukt ist eine Zahl, Kreuzprodukt ist ein Vektor; Skalarprodukt null heißt senkrecht, Kreuzprodukt null heißt parallel. Eselsbrücke fürs Kreuzprodukt: Rechte Hand, Zeigefinger a, Mittelfinger b, der Daumen zeigt a × b.

Drei Beispiele:

• Vektor (3 | 4): Betrag 5, Einheitsvektor (0,6 | 0,8), Winkel zur x-Achse 53,13 Grad. Der Raumvektor (2 | -1 | 2) hat die Länge 3 und den Einheitsvektor (0,6667 | -0,3333 | 0,6667).
• (1 | 2 | 3) und (4 | -5 | 6): Skalarprodukt 4 - 10 + 18 = 12, Beträge 3,7417 und 8,775, cos φ = 0,3655, Winkel 68,56 Grad. (3 | 0) und (3 | 3) schließen 45 Grad ein; (1 | 0 | 0) und (0 | 1 | 0) stehen mit Skalarprodukt 0 senkrecht aufeinander.
• (1 | 2 | 3) × (4 | 5 | 6): (-3 | 6 | -3), Betrag 7,3485 als Parallelogrammfläche, Dreiecksfläche 3,6742. (2 | 0 | 0) × (0 | 3 | 0) ergibt (0 | 0 | 6), das Rechteck mit Fläche 6.

Formeln: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²), a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a| · |b| · cos φ, a × b = (a₂b₃ - a₃b₂ | a₃b₁ - a₁b₃ | a₁b₂ - a₂b₁), Spatprodukt = (a × b) · c. Den Betrag in der Ebene liefert auch der Pythagoras-Rechner, den Winkel aus dem Cosinus der Sinus-Cosinus-Tangens-Rechner, und Determinanten, die hinter Kreuz- und Spatprodukt stecken, der Matrix-Rechner.

Wissenswertes zum Thema

Vektoren: Pfeile mit Länge und Richtung

Ein Vektor ist ein Pfeil, beschrieben durch seine Komponenten: (3 | 4) heißt drei nach rechts, vier nach oben, egal wo der Pfeil beginnt. Der Betrag ist seine Länge und folgt aus dem Satz des Pythagoras, in der Ebene √(3² + 4²) = 5, im Raum mit drei Summanden unter der Wurzel, und das Prinzip gilt in beliebig vielen Dimensionen. Teilt man jede Komponente durch den Betrag, entsteht der Einheitsvektor mit Länge 1, der nur noch die Richtung trägt; (0,6 | 0,8) zeigt in dieselbe Richtung wie (3 | 4). Einheitsvektoren braucht man überall, wo Richtung und Stärke getrennt werden: In der Physik ist eine Kraft von 50 Newton in Richtung (0,6 | 0,8) der Vektor (30 | 40), in der Computergrafik beschreibt der Normaleneinheitsvektor, wohin eine Fläche zeigt, und in der Navigation ist der Kurs ein Einheitsvektor. Die Winkel zu den Koordinatenachsen, die Richtungswinkel, folgen aus dem Cosinus der Einheitsvektor-Komponenten; ihre Cosinus-Quadrate addieren sich stets zu 1. Vektoren addiert man komponentenweise, (1 | 2) + (3 | 1) = (4 | 3), und das entspricht dem Aneinanderhängen der Pfeile; der Rechner zeigt Summe und Differenz im zweiten Kasten mit an.

Skalarprodukt und Winkel

Das Skalarprodukt multipliziert zwei Vektoren zu einer Zahl: die Komponenten paarweise multiplizieren und addieren. Seine geometrische Bedeutung steckt in der zweiten Formel, a · b = |a| · |b| · cos φ, aus der der Winkel zwischen zwei Vektoren folgt: cos φ = a · b geteilt durch das Produkt der Beträge, dann der Arkuscosinus. Für (1 | 2 | 3) und (4 | -5 | 6) ergibt das cos φ = 12 / (3,7417 · 8,775) = 0,3655 und φ = 68,56 Grad. Drei Sonderfälle sind wichtig: Ist das Skalarprodukt null, stehen die Vektoren senkrecht (orthogonal) aufeinander, der Test für rechte Winkel in jeder Geometrieaufgabe. Ist cos φ gleich 1 oder -1, sind sie parallel oder antiparallel. Und ist das Skalarprodukt positiv, ist der Winkel spitz, negativ stumpf. Die Projektion von a auf b, also der Schatten von a auf der Richtung von b, hat die Länge a · b / |b|; so zerlegt die Physik eine Kraft in den Anteil entlang einer schiefen Ebene und den Anteil senkrecht dazu, und so berechnet sich Arbeit als Kraft mal Weg, wenn beide nicht in dieselbe Richtung zeigen. In der Datenanalyse ist der Cosinus des Winkels zwischen zwei Datenvektoren das Maß für ihre Ähnlichkeit, die Cosinus-Ähnlichkeit, mit der Suchmaschinen und Empfehlungssysteme arbeiten.

Kreuzprodukt, Normalenvektor und Spatprodukt

Das Kreuzprodukt gibt es nur im dreidimensionalen Raum. Es liefert einen Vektor, der auf beiden Ausgangsvektoren senkrecht steht, mit einer Länge, die der Fläche des von ihnen aufgespannten Parallelogramms entspricht: |a × b| = |a| · |b| · sin φ. Für (1 | 2 | 3) und (4 | 5 | 6) ist das (-3 | 6 | -3) mit Betrag 7,3485; das Dreieck aus den beiden Vektoren hat die halbe Fläche. Die Richtung folgt der Rechte-Hand-Regel, und vertauscht man die Faktoren, dreht sich das Vorzeichen: b × a = -(a × b). Ist das Kreuzprodukt der Nullvektor, sind a und b parallel. Die wichtigste Anwendung ist der Normalenvektor einer Ebene: Zwei Richtungsvektoren der Ebene kreuzen, normieren, fertig ist die Normalenform, die in der Oberstufe jede Ebenenaufgabe löst. In der Physik beschreibt das Kreuzprodukt Drehmoment (Hebelarm × Kraft), Drehimpuls und die Lorentzkraft auf bewegte Ladungen im Magnetfeld; in der Computergrafik bestimmt es, welche Seite einer Fläche dem Betrachter zugewandt ist. Das Spatprodukt (a × b) · c ist eine Zahl, das Volumen des Spats aus drei Vektoren, mit Vorzeichen je nach Orientierung; ist es null, liegen die drei Vektoren in einer Ebene, sind also linear abhängig. Rechnerisch ist das Spatprodukt die Determinante der 3 × 3-Matrix aus den drei Vektoren.

Ein Stück Geschichte

Vektoren sind erstaunlich jung. Zwar rechneten Physiker seit Newton mit gerichteten Größen, aber die Rechenregeln entstanden erst im 19. Jahrhundert, und zwar über einen Umweg: William Rowan Hamilton erfand 1843 die Quaternionen, vierdimensionale Zahlen, deren "Vektorteil" bereits Skalar- und Kreuzprodukt enthielt; die Begriffe Skalar und Vektor stammen von ihm. Hermann Graßmann veröffentlichte 1844 in Stettin seine "Ausdehnungslehre" mit einer allgemeineren Theorie, die jahrzehntelang niemand las. Die heutige Vektoranalysis mit Punkt- und Kreuzprodukt als getrennten Operationen entwickelten Josiah Willard Gibbs in Yale und Oliver Heaviside in England unabhängig voneinander um 1880, um die Elektrodynamik Maxwells handlicher zu schreiben; Gibbs' Vorlesungsskript erschien 1901 als Buch. Die Pfeilschreibweise setzte sich in Deutschland über die Lehrbücher von Max Abraham und August Föppl ab 1894 durch. Dass Vektoren in den Schulunterricht kamen, ist eine Folge der Mathematikreform der 1960er-Jahre; heute stecken sie in jeder Grafikkarte und jedem Sprachmodell, wo Wörter als Vektoren mit hunderten Komponenten dargestellt und über Skalarprodukte verglichen werden.

Praktische Tipps

Prüfen Sie Orthogonalität immer über das Skalarprodukt, das ist schneller und genauer als der Winkel. Normieren Sie Vektoren, bevor Sie Richtungen vergleichen, sonst verfälschen die Längen das Bild. Merken Sie sich beim Kreuzprodukt das Schema: Für die x-Komponente die y- und z-Komponenten über Kreuz multiplizieren, dann zyklisch weiter; der Rechner schreibt alle drei Zeilen aus. Kontrollieren Sie ein Kreuzprodukt, indem Sie das Skalarprodukt mit einem der Ausgangsvektoren bilden, es muss null sein, der Rechner zeigt diese Probe mit. Und nutzen Sie das Spatprodukt als Test auf lineare Abhängigkeit dreier Vektoren, das ist in Klausuren der schnellste Weg. Flächen und Volumen aus Koordinaten liefern auch der Dreieck-Rechner und der Volumenrechner; die Steigung als Richtungsvektor in der Ebene zeigt der Steigungsrechner.