Durchschnittsrechner

So funktioniert der Durchschnittsrechner

Der Durchschnittsrechner hat drei Kästen. Der erste nimmt beliebig viele Zahlen und zeigt den Mittelwert, die Summe, den Median als mittleren Wert, den häufigsten Wert, den Modus, den kleinsten und größten Wert und die Standardabweichung. Der zweite rechnet den gewichteten Durchschnitt, bei dem jeder Wert ein Gewicht bekommt, Noten mit Gewichtung, Anteile in Prozent, doppelt zählende Klausuren. Der dritte dreht die Frage um: Welchen Wert brauche ich beim nächsten Mal, damit der Durchschnitt auf einen Zielwert kommt?

Merksatz: Durchschnitt ist Summe durch Anzahl, Median ist die Mitte der sortierten Reihe, und beide sind nur gleich, wenn die Werte symmetrisch liegen. Die Eselsbrücke für den gewichteten Durchschnitt: jeden Wert mal sein Gewicht, alles addieren, durch die Summe der Gewichte teilen; und für das Ziel: Zielschnitt mal neue Anzahl minus bisherige Summe.

Drei Beispiele:

• 12 15 9 20 14: Summe 70, Durchschnitt 14, Median 14, kein Modus, Spannweite 9 bis 20, Standardabweichung 3,63. Bei 2,5 3 1,5 2 4 3,5 ergibt sich 2,75.
• Gewichtet, 85, 70 und 92 mit Gewichten 50, 30 und 20: 85 × 0,5 + 70 × 0,3 + 92 × 0,2 = 81,9; ungewichtet wären es 82,33.
• Ziel: nach 78, 82 und 65 ein Schnitt von 78: bisher 225 Punkte und Schnitt 75, nötig 4 × 78 = 312, also 87 beim nächsten Mal.

Formeln: Mittelwert = Summe / Anzahl, gewichtet = Σ(Wert × Gewicht) / Σ Gewicht, nötiger Wert = Ziel × (n + 1) - bisherige Summe. Die Streuung der Werte beschreibt der Standardabweichungs-Rechner, den Notenschnitt mit Fächergewichtung der Notendurchschnitt-Rechner.

Wissenswertes zum Thema

Mittelwert, Median, Modus: drei Mitten

Das arithmetische Mittel ist die bekannte Mitte, Summe durch Anzahl, und es hat eine Schwäche: Es folgt den Ausreißern. Fünf Gehälter von 1.800, 2.100, 1.950, 4.500 und 2.000 Euro haben den Durchschnitt 2.470, aber vier von fünf verdienen weniger, und der Median, der mittlere Wert der sortierten Reihe, liegt bei 2.000 und beschreibt die Gruppe besser; deshalb nennt das Statistische Bundesamt beim Einkommen den Median, zuletzt rund 4.000 Euro brutto im Monat für Vollzeit, während der Durchschnitt über 4.600 liegt, weil wenige Spitzenverdiener ihn hochziehen. Bei gerader Anzahl ist der Median das Mittel der beiden mittleren Werte, bei 2,5 3 1,5 2 4 3,5 sortiert 1,5 2 2,5 3 3,5 4 also 2,75, zufällig gleich dem Durchschnitt. Der Modus ist der häufigste Wert und der einzige Mittelwert, der auch für Kategorien funktioniert, die beliebteste Schuhgröße, das meistgewählte Menü; bei lauter verschiedenen Werten gibt es keinen, bei zwei gleich häufigen zwei. Die Spannweite, kleinster bis größter Wert, und die Standardabweichung zeigen, wie weit die Werte auseinanderliegen, 9 bis 20 mit 3,63 beim ersten Beispiel. Die Regel: symmetrische Daten wie Körpergrößen und Messwerte mit dem Mittelwert, schiefe Daten wie Einkommen, Hauspreise und Wartezeiten mit dem Median, Kategorien mit dem Modus. Wie weit Werte streuen, zeigt der Standardabweichungs-Rechner.

Gewichteter Durchschnitt: wenn nicht alles gleich zählt

Bei Noten zählt die Klausur doppelt, bei ECTS-Modulen das Modul mit mehr Punkten mehr, bei einem Depot die Aktie mit dem höheren Anteil, bei einer Umfrage die Altersgruppe mit mehr Befragten: Dann bekommt jeder Wert ein Gewicht, und der Durchschnitt ist die Summe aus Wert mal Gewicht durch die Summe der Gewichte. 85, 70 und 92 mit 50, 30 und 20 Prozent ergeben 42,5 + 21 + 18,4 = 81,9; die Gewichte müssen sich nicht zu 100 addieren, 5, 3 und 2 ergäben dasselbe, weil der Rechner durch die Gewichtssumme teilt. Das ungewichtete Mittel 82,33 ist der Vergleich: Hier liegt es höher, weil der schwächste Wert 70 das größte Gewicht nach dem ersten hat. Der Schulfall: mündlich 2 mit Gewicht 1, schriftlich 3 mit Gewicht 2, Zeugnisnote 2,67, gerundet 3; der Unifall: Modulnoten nach ECTS; der Finanzfall: Durchschnittskurs beim Nachkaufen, 100 Aktien zu 50 Euro und 50 Aktien zu 80 Euro ergeben 60 Euro je Aktie, nicht 65; der Preisfall: Mischpreis von Produkten mit verschiedenen Mengen, 3 kg zu 2 Euro und 1 kg zu 6 Euro kosten 3 Euro je kg, nicht 4. Auch die Inflationsrate ist ein gewichteter Durchschnitt, Preisänderungen gewichtet mit dem Anteil im Warenkorb. Wie der Uni-Schnitt nach ECTS rechnet, zeigt der Uni-Schnitt-Rechner.

Den Zielschnitt rückwärts rechnen

Die Frage "Was brauche ich in der nächsten Klausur?" ist eine Gleichung: Zielschnitt mal künftige Anzahl ist die nötige Summe, minus die bisherige Summe ist der nötige Wert. Nach 78, 82 und 65 Punkten, Summe 225, Schnitt 75, braucht es für 78 im Schnitt 4 × 78 = 312, also 87. Nach den Noten 2, 3, 2, 4 mit Schnitt 2,75 braucht es für 2,5 eine 1,5, denn 5 × 2,5 = 12,5 minus 11 bisher. Die Rechnung zeigt auch, wann ein Ziel unerreichbar ist: Wenn der nötige Wert über dem Maximum liegt, über 100 Punkten oder unter der Note 1, reicht ein Versuch nicht, und dann rechnet man mit zwei weiteren Werten, Ziel mal n + 2 minus Summe, geteilt durch 2. Je mehr Werte schon da sind, desto weniger bewegt ein neuer den Schnitt: Nach 3 Werten hebt eine 87 den Schnitt um 3 Punkte, nach 30 Werten nur um 0,4; das ist der Grund, warum sich Schnitte am Ende eines Schuljahres kaum noch ändern lassen und warum frühe Noten mehr wiegen, obwohl sie gleich gewichtet sind. Dieselbe Logik gilt für Verbrauch und Sport, welchen Verbrauch die nächste Tankfüllung haben muss, damit der Jahresschnitt unter 6 Liter kommt, welche Zeit der nächste Lauf braucht, damit die Durchschnittspace stimmt. Den Abischnitt mit seinen Gewichtungsregeln rechnet der Abi-Schnitt-Rechner.

Ein Stück Geschichte: Der mittlere Mensch

Den Durchschnitt als Zahl nutzten Astronomen seit dem 16. Jahrhundert, um aus mehreren Messungen eine bessere zu machen, Tycho Brahe mittelte seine Beobachtungen, und Gauß bewies 1809, warum das arithmetische Mittel bei Messfehlern der beste Schätzer ist. Auf Menschen wandte es der Belgier Adolphe Quetelet 1835 an: In "Über den Menschen" vermaß er Brustumfänge schottischer Soldaten, fand die Glockenkurve und erfand den "mittleren Menschen", l'homme moyen, als Idealtyp, eine Idee, die Statistik, Versicherung und auch den BMI hervorbrachte, den Quetelet-Index. Francis Galton führte 1883 den Median ein, als "Mittelwert, den die Hälfte überschreitet", und Karl Pearson den Modus 1895. Der gewichtete Durchschnitt ist älter, Kaufleute berechneten Mischpreise seit dem Mittelalter mit der Alligationsrechnung, die in jedem Rechenbuch des 16. Jahrhunderts steht, bei Adam Ries 1522 als "Regel der Vermischung". Der Streit um Durchschnitt oder Median prägt bis heute die Einkommensstatistik: Seit den 1970ern geben Statistikämter den Median an, weil der Durchschnitt mit der Ungleichheit steigt, ohne dass die Mitte etwas davon hat. Der Rechner zeigt alle drei Mitten, damit man den Unterschied sieht.

Praktische Tipps

Schauen Sie neben dem Durchschnitt immer auf den Median; weichen beide stark ab, ziehen Ausreißer. Tragen Sie Dezimalzahlen mit Komma ein und trennen Sie mit Leerzeichen oder Semikolon. Nutzen Sie beim gewichteten Durchschnitt beliebige Gewichte, Prozent oder Vielfache, der Rechner normiert. Rechnen Sie Zielwerte früh im Jahr, dann sind sie noch erreichbar. Prüfen Sie bei Prozentangaben, ob ein Durchschnitt von Prozenten überhaupt sinnvoll ist, meist muss gewichtet werden. Und mitteln Sie Geschwindigkeiten und Verhältnisse nicht arithmetisch, sondern über die Gesamtstrecke und Gesamtzeit. Wie ein Notenschnitt aus Punkten entsteht, zeigt der Punkte-Note-Rechner.