Wurzelrechner
Quadratwurzel, Kubikwurzel und jede n-te Wurzel, mit Probe, Potenzschreibweise und Primfaktoren.
Welche Wurzel hat eine Zahl?
Wurzelexponent 2 für Quadratwurzel, 3 für Kubikwurzel.
Beispiel: Kubikwurzel aus 729 = 9
So funktioniert der Wurzelrechner
Der Wurzelrechner nimmt den Wurzelexponenten und die Zahl und zeigt die Wurzel, 2 für die Quadratwurzel, 3 für die Kubikwurzel, 4, 5 oder mehr für höhere Wurzeln. Dazu die Probe, Ergebnis hoch Exponent gleich Zahl, Quadrat- und Kubikwurzel derselben Zahl zum Vergleich, die Schreibweise als Potenz mit Bruch im Exponenten und die Primfaktorzerlegung der Zahl, an der man sieht, ob die Wurzel glatt aufgeht. Irrationale Ergebnisse wie die Wurzel aus 2 kommen mit sechs Nachkommastellen.
Merksatz: Die Wurzel fragt, welche Zahl mit sich selbst multipliziert die Ausgangszahl gibt, und die n-te Wurzel ist die Potenz mit 1/n. Die Eselsbrücke für glatte Wurzeln: Primfaktoren zerlegen, und wenn jeder Exponent durch n teilbar ist, geht die Wurzel auf; 144 = 2⁴ × 3² gibt Wurzel 2² × 3 = 12, 729 = 3⁶ gibt Kubikwurzel 3² = 9.
Drei Beispiele:
- Quadratwurzel aus 144: 12, denn 12 × 12 = 144; Kubikwurzel 5,241483, als Potenz 144^(1/2), Primfaktoren 2⁴ × 3².
- Kubikwurzel aus 729: 9, denn 9³ = 729; Quadratwurzel 27, Primfaktoren 3⁶; die 4. Wurzel aus 81 ist 3, denn 3⁴ = 81.
- Quadratwurzel aus 2: 1,414214 gerundet, Probe 1,414214² = 2, irrational, als Potenz 2^(1/2), Kubikwurzel 1,259921.
Formeln: ⁿ√x = x^(1/n), √(a·b) = √a · √b, √(a/b) = √a / √b, (ⁿ√x)ⁿ = x, aber √(a + b) ≠ √a + √b. Das Gegenstück mit Hochzahlen rechnet der Potenzrechner, die Zerlegung in Primfaktoren der Primzahl-Rechner.
Wissenswertes zum Thema
Wurzeln als Potenzen und die Rechenregeln
Die n-te Wurzel aus x ist die Zahl, die hoch n wieder x ergibt, und in der Potenzschreibweise ist sie x hoch 1/n: √144 = 144^(1/2), ³√729 = 729^(1/3). Damit gelten die Potenzgesetze auch für Wurzeln, und das ist der Schlüssel zum Rechnen: Wurzel aus einem Produkt ist Produkt der Wurzeln, √(4 × 9) = 2 × 3 = 6, Wurzel aus einem Quotienten ist Quotient der Wurzeln, √(1/4) = 1/2, Wurzel aus einer Potenz ist die Potenz mit geteiltem Exponenten, √(2⁴) = 2², und die Wurzel aus einer Wurzel multipliziert die Exponenten, √(√16) = ⁴√16 = 2. Was nicht gilt, ist der beliebteste Fehler: Die Wurzel aus einer Summe ist nicht die Summe der Wurzeln, √(9 + 16) = √25 = 5, aber √9 + √16 = 7. Teilweises Wurzelziehen nutzt die Produktregel, um Wurzeln zu vereinfachen: √72 = √(36 × 2) = 6√2, und dafür braucht man die Primfaktoren, 72 = 2³ × 3², jeder gerade Exponent darf aus der Wurzel, 2² × 3² = 36, der Rest 2 bleibt drin; der Rechner zeigt die Primfaktoren genau dafür. Gerade Wurzeln aus negativen Zahlen gibt es in den reellen Zahlen nicht, √(-4) ist nicht definiert, erst mit der imaginären Einheit i wird sie 2i; ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen gehen, ³√(-8) = -2. Und die Quadratwurzel ist per Definition die positive Lösung, √16 = 4, obwohl auch (-4)² = 16 gilt, weshalb die Gleichung x² = 16 zwei Lösungen hat, die Wurzel aber einen Wert. Was Potenzen mit negativen und gebrochenen Exponenten ergeben, zeigt der Potenzrechner.
Wurzeln von Hand: Schätzen, Heron, Taschenrechner
Quadratzahlen bis 20 und Kubikzahlen bis 10 sollte man kennen, 144 ist 12², 729 ist 9³, 1.024 ist 2¹⁰ und 32², und damit schätzt man: √150 liegt zwischen 12 und 13, näher an 12, etwa 12,25. Genauer geht das Heron-Verfahren, das älteste iterative Verfahren der Mathematik: einen Schätzwert nehmen, die Zahl durch ihn teilen, aus beiden den Mittelwert bilden, wiederholen. Für √2 mit Start 1,5: 2 / 1,5 = 1,333, Mittel 1,4167; 2 / 1,4167 = 1,4118, Mittel 1,41422; zwei Schritte, fünf richtige Stellen, und jeder weitere Schritt verdoppelt die Stellen, so rechnet der Computer. Für Kubikwurzeln lautet die Regel Mittelwert aus zwei Schätzwerten und Zahl durch Schätzwert zum Quadrat, gewichtet 2 zu 1. Auf dem Taschenrechner steht die Quadratwurzel als eigene Taste, höhere Wurzeln über die Potenztaste mit 1/n, ³√729 als 729^(1/3), oder über die Taste x√y; in Excel SQRT oder POTENZ(729; 1/3), in Python 729 ** (1/3), wobei Fließkommazahlen 8,999999 liefern können und man rundet. Die schriftliche Wurzelrechnung, die Großeltern noch in der Schule lernten, zerlegt die Zahl in Zweiergruppen und zieht Ziffer für Ziffer, funktioniert und ist heute Liebhaberei. Wurzeln aus Brüchen rechnet man getrennt, √(9/16) = 3/4, was der Bruchrechner vorbereitet.
Wo Wurzeln vorkommen
Die Quadratwurzel steckt im Satz des Pythagoras, die Diagonale eines Quadrats mit Seite 1 ist √2, die Bildschirmdiagonale aus Breite und Höhe, die Entfernung zwischen zwei Punkten; in der Standardabweichung als Wurzel der Varianz; in der Normalverteilung; in der Fallgeschwindigkeit, v = √(2gh), nach 5 Metern Fall knapp 10 m/s; im Bremsweg, aus dem man die Geschwindigkeit zurückrechnet, v = √(2 × a × s); in der Wechselspannung, bei der 230 Volt der Effektivwert und 325 Volt, 230 × √2, der Scheitelwert sind; und in der Finanzmathematik, wo die Jahresrendite aus der Gesamtrendite die n-te Wurzel ist, aus 50 Prozent in 5 Jahren die 5. Wurzel aus 1,5, 8,45 Prozent. Die Kubikwurzel kommt vor, wenn aus einem Volumen die Kantenlänge gesucht ist, ein Würfel mit 729 Litern hat 9 Dezimeter Kante, und bei der Skalierung, ein doppelt so schwerer Fisch ist nur ³√2 = 1,26-mal so lang. Höhere Wurzeln sind Zinseszins rückwärts, aus Endkapital und Jahren der Zinssatz. Die Wurzel aus 2 ist auch das Seitenverhältnis des DIN-A-Papiers, weshalb A4 halbiert A5 mit demselben Verhältnis ergibt, und die zwölfte Wurzel aus 2, 1,0595, der Frequenzabstand zweier Halbtöne auf dem Klavier. Wie die Jahresrendite als Wurzel entsteht, rechnet der Renditerechner.
Ein Stück Geschichte: Babylon, Hippasos und das Wurzelzeichen
Die Babylonier kannten √2 um 1800 v. Chr. auf sechs Stellen genau, die Tontafel YBC 7289 zeigt ein Quadrat mit Diagonale und der Sexagesimalzahl 1;24,51,10, das ist 1,41421296, und sie nutzten ein Verfahren, das Heron von Alexandria um 60 n. Chr. aufschrieb, deshalb sein Name. Die Pythagoreer entdeckten um 500 v. Chr., dass √2 kein Bruch ist, irrational, und die Legende sagt, Hippasos von Metapont sei für die Verbreitung dieser Entdeckung ertränkt worden, weil sie die Lehre "alles ist Zahl" erschütterte; der Beweis, dass √2 nicht als Bruch geschrieben werden kann, steht bei Euklid und ist bis heute der erste Beweis, den Mathematikstudenten lernen. Das Wurzelzeichen führte Christoph Rudolff 1525 in seinem Rechenbuch "Coss" ein, ein Punkt mit Haken, der aus dem kleinen r für radix, Wurzel, entstanden sein soll; Descartes setzte 1637 den waagerechten Strich darüber, der die Klammer ersetzt, und das Zeichen stand. Kubikwurzeln zogen die Chinesen in den Neun Kapiteln um 100 v. Chr. schriftlich, und Omar Chayyam löste im 11. Jahrhundert kubische Gleichungen mit Kegelschnitten. Das Rechnen mit Wurzeln als gebrochenen Potenzen begründete Newton 1676 in einem Brief an Leibniz, und Euler schrieb 1748 die Regeln auf, die in jeder Formelsammlung stehen. Der Rechner liefert in Sekundenbruchteilen, wofür die Babylonier Tontafeln brauchten.
Praktische Tipps
Zerlegen Sie die Zahl in Primfaktoren, bevor Sie ziehen, dann sehen Sie, ob die Wurzel aufgeht und was Sie teilweise herausziehen können. Schätzen Sie mit den Quadratzahlen bis 20 und prüfen Sie das Ergebnis durch Quadrieren. Rechnen Sie höhere Wurzeln als Potenz mit 1/n. Vergessen Sie nie, dass die Wurzel aus einer Summe nicht die Summe der Wurzeln ist. Runden Sie Fließkomma-Ergebnisse wie 8,999999 auf 9, wenn die Primfaktoren es hergeben. Nutzen Sie Heron, wenn der Taschenrechner fehlt, zwei Schritte reichen. Und schreiben Sie bei Gleichungen beide Lösungen hin, die Wurzel ist nur die positive. Die Standardabweichung als Wurzel der Varianz rechnet der Standardabweichungs-Rechner.
Häufige Fragen
Wie berechnet man eine Quadratwurzel ohne Taschenrechner?
Schätzen und mit dem Heron-Verfahren verbessern: Zahl durch Schätzwert teilen, Mittelwert bilden, wiederholen. Für √2 mit Start 1,5: Mittel aus 1,5 und 1,333 ist 1,4167, dann Mittel aus 1,4167 und 1,4118 ist 1,41422. Nach zwei Schritten stimmen fünf Stellen; der Rechner zeigt 1,414214.
Was ist die Kubikwurzel und wie berechnet man sie?
Die Zahl, die hoch 3 die Ausgangszahl ergibt: Kubikwurzel aus 729 ist 9, weil 9 × 9 × 9 = 729. Auf dem Taschenrechner als 729^(1/3) über die Potenztaste. An den Primfaktoren 3⁶ sieht man das Ergebnis 3² = 9, weil 6 durch 3 teilbar ist.
Wie erkenne ich, ob eine Wurzel glatt aufgeht?
An der Primfaktorzerlegung: Geht die Wurzel auf, ist jeder Exponent durch den Wurzelexponenten teilbar. 144 = 2⁴ × 3² hat die Quadratwurzel 2² × 3 = 12; 81 = 3⁴ hat die 4. Wurzel 3; 2 hat nur den Faktor 2¹ und seine Quadratwurzel 1,414214 ist irrational.
Was ist die Wurzel aus einer negativen Zahl?
Bei geraden Wurzelexponenten in den reellen Zahlen nicht definiert, weil kein Quadrat negativ ist; erst mit der imaginären Einheit i wird √(-4) zu 2i. Ungerade Wurzeln gehen: Kubikwurzel aus -8 ist -2, weil (-2)³ = -8.
Warum ist die Wurzel aus 16 nur 4 und nicht auch -4?
Weil die Quadratwurzel per Definition die nicht negative Lösung ist, damit sie eindeutig bleibt. Die Gleichung x² = 16 hat dagegen zwei Lösungen, 4 und -4, geschrieben als x = ±√16. Beim Lösen von Gleichungen beide hinschreiben, bei der Wurzel nur die positive.
Wie schreibt man eine Wurzel als Potenz?
Die n-te Wurzel aus x ist x hoch 1/n: √144 = 144^(1/2), ³√729 = 729^(1/3), ⁴√81 = 81^(1/4). Damit gelten alle Potenzgesetze, etwa √(a × b) = √a × √b und (√x)² = x. Auf Taschenrechnern und in Tabellenkalkulationen ist das der Weg zu höheren Wurzeln.
Was ist teilweises Wurzelziehen?
Quadratische Faktoren aus der Wurzel herausziehen: √72 = √(36 × 2) = 6√2, √50 = 5√2, √(2⁴ × 3) = 4√3. Man zerlegt in Primfaktoren, nimmt jeden Faktor mit geradem Exponenten heraus und lässt den Rest unter der Wurzel. In Klausuren ist das die verlangte Form.
Wo braucht man Wurzeln im Alltag?
Bei Diagonalen nach Pythagoras, etwa Bildschirm und Grundstück, bei der Standardabweichung, bei der Jahresrendite aus der Gesamtrendite, die 5. Wurzel aus 1,5 ist 1,0845 oder 8,45 Prozent, bei der Kantenlänge aus einem Volumen und beim Bremsweg, aus dem sich die Geschwindigkeit als Wurzel ergibt.