Varianz-Rechner

So funktioniert der Varianz-Rechner

Der Varianz-Rechner nimmt eine Zahlenreihe und die Angabe, ob die Daten eine Stichprobe sind oder die ganze Grundgesamtheit, und zeigt den Rechenweg: Mittelwert, Summe der quadrierten Abweichungen, Teiler n - 1 oder n, die Varianz, ihre Wurzel als Standardabweichung, den Variationskoeffizienten in Prozent und zum Vergleich die Varianz nach der jeweils anderen Methode. Er ist der Rechner für die Statistikhausaufgabe, bei der der Weg zählt, und für Messreihen im Labor, in der Qualitätskontrolle und im Sport.

Merksatz: Varianz ist der Durchschnitt der quadrierten Abstände vom Mittelwert, und ihre Einheit ist die Einheit der Daten zum Quadrat. Die Eselsbrücke für n oder n - 1: Habe ich alle, teile ich durch alle; habe ich nur einen Teil und will auf das Ganze schließen, nehme ich einen weg, und bei großen Reihen ist es egal.

Drei Beispiele:

• Messwerte 2,1 2,4 1,9 2,6 2,2 2,0 2,3 als Grundgesamtheit: Mittelwert 2,2143, Summe der Abweichungsquadrate 0,3486, durch 7 gleich Varianz 0,0498, Standardabweichung 0,2231, Variationskoeffizient 10,1 Prozent; als Stichprobe wäre die Varianz 0,0581.
• 4 8 6 5 3 7 als Stichprobe: Mittelwert 5,5, Abweichungsquadrate 17,5, durch 5 gleich 3,5, Standardabweichung 1,8708, Variationskoeffizient 34 Prozent; als Grundgesamtheit 2,9167.
• Noten 2 2 2 2: Varianz 0, alle gleich; Noten 1 und 5 im Wechsel: Mittelwert 3, jede Abweichung 2, Varianz 4.

Formeln: s² = Σ(x - x̄)² / (n - 1) für die Stichprobe, σ² = Σ(x - x̄)² / n für die Grundgesamtheit, Standardabweichung = √Varianz, Variationskoeffizient = Standardabweichung / Mittelwert × 100. Die Standardabweichung mit der 68-95-99,7-Regel erklärt ausführlich der Standardabweichungs-Rechner, Mittelwert und Median der Durchschnittsrechner.

Wissenswertes zum Thema

Warum quadrieren und warum die Varianz trotzdem nützlich ist

Der naive Weg, Abweichungen vom Mittelwert einfach zu addieren, ergibt immer null, weil die positiven und negativen sich aufheben; das Quadrieren macht alle positiv und gewichtet große Abweichungen stärker, eine Abweichung von 2 zählt viermal so viel wie eine von 1, was Ausreißer betont, aber mathematisch bequem ist, weil Quadrate überall ableitbar sind und sich Varianzen unabhängiger Größen addieren lassen. Die Varianz hat deshalb die Einheit im Quadrat, Quadratzentimeter bei Längen, Quadrateuro bei Preisen, was sich niemand vorstellen kann, und darum berichtet man meist die Standardabweichung, ihre Wurzel, 0,2231 statt 0,0498. Die Varianz selbst braucht man dort, wo gerechnet wird: In der Fehlerfortpflanzung, wo die Varianz einer Summe die Summe der Varianzen ist; in der Varianzanalyse, die prüft, ob Gruppen sich unterscheiden, indem sie die Varianz zwischen den Gruppen mit der innerhalb vergleicht; in der Portfoliotheorie, wo die Varianz der Rendite das Risiko ist und sich mit Korrelationen mischt; in der Regression, die die Varianz der Residuen minimiert, und beim Bestimmtheitsmaß R², das den Anteil erklärter Varianz angibt. Der Variationskoeffizient, Standardabweichung durch Mittelwert, macht Streuungen vergleichbar: 10,1 Prozent bei den Messwerten sind viel für ein Labor, 34 Prozent bei den Zahlen 3 bis 8 normal für kleine Zahlen. Der Rechner zeigt auch die Summe der Abweichungsquadrate, die in Klausuren als Zwischenschritt verlangt wird, und die andere Methode, damit man sieht, welche man braucht. Wie die Standardabweichung die Verteilung beschreibt, zeigt der Standardabweichungs-Rechner.

n oder n - 1: Die Bessel-Korrektur verständlich

Wenn Sie alle Werte haben, die es gibt, die Noten der ganzen Klasse, die Umsätze aller Filialen, die sieben Messungen und sonst keine, ist die Varianz einfach der Durchschnitt der Abweichungsquadrate, durch n, 0,0498 im Beispiel. Wenn die Werte eine Stichprobe aus etwas Größerem sind, sieben Messungen aus einer Produktion, die weiterläuft, zwanzig Befragte aus einer Stadt, dann wollen Sie die Varianz des Ganzen schätzen, und der Durchschnitt durch n unterschätzt sie systematisch: Der Mittelwert, den Sie verwenden, stammt aus derselben Stichprobe und liegt näher an den Stichprobenwerten als der wahre Mittelwert der Gesamtheit, die Abweichungen fallen also zu klein aus. Teilen durch n - 1 korrigiert das genau, die Bessel-Korrektur, und der Unterschied ist bei 7 Werten 17 Prozent, 0,0581 statt 0,0498, bei 30 Werten 3 Prozent, bei 1.000 nichts mehr. Die Faustregel: Beschreibung vollständiger Daten mit n, Schluss von der Stichprobe auf die Welt mit n - 1, Schule meist n, Wissenschaft, Labor und Statistiksoftware meist n - 1; Excel hat VAR.P und VAR.S, Taschenrechner σ² und s², Python numpy.var mit ddof 0 und 1. Wer in der Klausur nicht weiß, welche gefragt ist, liest die Aufgabe: "Messreihe", "Stichprobe", "Schätzung" heißen n - 1, "alle", "gesamt", "Grundgesamtheit" heißen n. Der Rechner nennt beide, damit nichts fehlt. Das n - 1 ist auch die Zahl der Freiheitsgrade, die beim t-Test wieder auftaucht. Welche Wurzel aus der Varianz die Standardabweichung macht, rechnet der Wurzelrechner.

Varianz in der Praxis: Labor, Fertigung, Finanzen

Im Labor gilt die Messreihe 2,1 bis 2,6 als Wiederholungsmessung, und ihre Standardabweichung von 0,22 bei Mittelwert 2,21 ist die Präzision der Methode, der Variationskoeffizient von 10 Prozent die Kennzahl, die in Validierungen unter 5 oder 2 Prozent liegen soll; die Varianz zwischen Laboren ist meist größer als innerhalb, was Ringversuche messen. In der Fertigung ist die Varianz die Prozessstreuung, und die Prozessfähigkeit vergleicht die Toleranzbreite mit sechs Standardabweichungen, Cp größer 1,33 ist das übliche Ziel, Six Sigma verlangt, dass die Toleranzgrenzen sechs Standardabweichungen vom Mittel liegen. In den Finanzen ist die Varianz der Tagesrenditen das Risiko, die Volatilität als Standardabweichung auf das Jahr hochgerechnet mit der Wurzel aus 252 Handelstagen, und ein Depot aus zwei Werten hat eine Varianz, die durch die Kovarianz kleiner ist als die Summe, der Grund für Diversifikation. In der Qualitätssicherung von Software misst man die Varianz der Antwortzeiten, in der Landwirtschaft die der Erträge je Parzelle, im Sport die der Laufzeiten, und überall gilt: Der Mittelwert sagt, wo man ist, die Varianz, wie verlässlich. Ausreißer treiben die Varianz quadratisch, ein Wert von 5,0 in der Messreihe würde sie von 0,05 auf fast 1 heben, deshalb vor dem Rechnen die Daten ansehen und Ausreißer erklären, nicht löschen. Die Varianz von Renditen über Jahre rechnet der Renditerechner nicht, die Rendite selbst schon, als Ausgangsgröße.

Ein Stück Geschichte: Fisher gibt der Streuung ihren Namen

Das Wort Varianz prägte Ronald Fisher 1918 in einer Arbeit über die Vererbung von Merkmalen, in der er zeigte, dass sich die Streuung eines Merkmals in Anteile zerlegen lässt, die auf verschiedene Ursachen zurückgehen, und daraus wurde 1925 in "Statistical Methods for Research Workers" die Varianzanalyse, die er für Düngeversuche an der Versuchsstation Rothamsted entwickelte, wo er Parzellen zufällig anordnete, um die Varianz der Bodenunterschiede von der des Düngers zu trennen. Das Prinzip, Abweichungen zu quadrieren, ist älter, es steckt in der Methode der kleinsten Quadrate von Legendre 1805 und Gauß 1809, und die Standardabweichung als Wurzel hatte Karl Pearson 1893 benannt. Die Korrektur mit n - 1 geht auf Friedrich Wilhelm Bessel zurück, der sie um 1830 für astronomische Messreihen brauchte, und ihre saubere Begründung als erwartungstreuer Schätzer lieferte die Statistik des frühen 20. Jahrhunderts. Walter Shewhart übertrug die Varianz 1924 in die Fertigung, mit der Regelkarte bei Bell Labs, Harry Markowitz 1952 in die Geldanlage, wo Varianz seither Risiko heißt, und die Varianzanalyse wurde in den 1950ern das Standardwerkzeug der Medizin und Psychologie. Der Rechner rechnet Fishers Varianz mit Bessels Korrektur und zeigt beides, wie Fisher es mit "the variance" meinte und wie das Labor sie braucht.

Praktische Tipps

Klären Sie vor dem Rechnen, ob Sie alle Werte haben oder eine Stichprobe, und wählen Sie n oder n - 1; im Zweifel n - 1. Sehen Sie sich die Daten vor dem Rechnen an und erklären Sie Ausreißer. Berichten Sie die Standardabweichung in der Einheit der Daten und die Varianz, wenn weitergerechnet wird. Nutzen Sie den Variationskoeffizienten für Vergleiche zwischen Messgrößen. Schreiben Sie in der Klausur die Summe der Abweichungsquadrate als Zwischenschritt hin. Trennen Sie Werte mit Leerzeichen und schreiben Sie Dezimalzahlen mit Komma. Und prüfen Sie Excel-Formeln auf VAR.P gegen VAR.S, das ist der häufigste Fehler in Tabellen. Den Mittelwert, auf den sich alles bezieht, mit Median und Modus zeigt der Durchschnittsrechner.