Matrix-Rechner

So funktioniert der Matrix-Rechner

Der Matrix-Rechner nimmt Matrizen in der einfachsten Form entgegen, die es gibt: Werte mit Leerzeichen, Zeilen mit Semikolon, also "2 1; 5 3" für eine 2 × 2-Matrix. Der erste Kasten berechnet die Determinante, für 2 × 2 mit ad - bc, für 3 × 3 nach der Regel von Sarrus mit ausgeschriebenen Produkten, für größere Matrizen mit dem Gauß-Verfahren, und sagt, ob die Matrix regulär oder singulär ist. Der zweite Kasten liefert die inverse Matrix mit Gauß-Jordan und rechnet zur Probe A · A⁻¹ aus, das muss die Einheitsmatrix sein. Der dritte Kasten führt die Matrixmultiplikation A · B durch, zeigt B · A zum Vergleich und die Transponierten beider Matrizen.

Merksatz: Determinante null heißt keine Inverse und keine eindeutige Lösung. Eselsbrücke für 2 × 2: Hauptdiagonale mal, Nebendiagonale mal, Differenz; und für die Inverse: Diagonale tauschen, Nebendiagonale negieren, durch die Determinante teilen.

Drei Beispiele:

• Determinante von (2 1; 5 3): 2 · 3 - 1 · 5 = 1, regulär. Für (4 7; 2 6): 4 · 6 - 7 · 2 = 10. Für (1 2; 2 4): 1 · 4 - 2 · 2 = 0, singulär, die zweite Zeile ist das Doppelte der ersten. Die 3 × 3-Matrix (1 2 3; 0 1 4; 5 6 0) hat nach Sarrus die Determinante 1.
• Inverse von (2 1; 5 3): 1 ÷ 1 · (3 -1; -5 2) = (3 -1; -5 2). Inverse von (4 7; 2 6): (0,6 -0,7; -0,2 0,4). Die Inverse von (1 2 3; 0 1 4; 5 6 0) ist (-24 18 5; 20 -15 -4; -5 4 1), die Probe ergibt die Einheitsmatrix.
• (1 2; 3 4) · (5 6; 7 8): (19 22; 43 50), aber B · A = (23 34; 31 46), die Multiplikation ist nicht kommutativ. (1 2 3; 4 5 6) · (7 8; 9 10; 11 12) ergibt die 2 × 2-Matrix (58 64; 139 154).

Formeln: det (a b; c d) = ad - bc, A⁻¹ = 1 / det · (d -b; -c a) für 2 × 2, Sarrus: Summe der drei Diagonalprodukte minus Summe der drei Gegendiagonalprodukte, (A · B)ᵢⱼ = Σₖ Aᵢₖ · Bₖⱼ, Zeile mal Spalte. Lineare Gleichungssysteme direkt löst der Gleichungssystem-Rechner, Vektoren und ihre Produkte der Vektorrechner, und Brüche in Ergebnissen der Bruchrechner.

Wissenswertes zum Thema

Determinante: Die Kennzahl einer Matrix

Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema, und die Determinante ist die eine Zahl, die einer quadratischen Matrix das Wichtigste ansieht: Ist sie ungleich null, ist die Matrix regulär, hat eine Inverse, und das zugehörige lineare Gleichungssystem hat genau eine Lösung. Ist sie null, ist die Matrix singulär, ihre Zeilen sind linear abhängig, und das Gleichungssystem hat keine oder unendlich viele Lösungen. Für 2 × 2 ist die Determinante ad - bc, für 3 × 3 gilt die Regel von Sarrus: Man schreibt die ersten beiden Spalten rechts noch einmal daneben, addiert die drei Produkte entlang der Diagonalen von links oben nach rechts unten und subtrahiert die drei Produkte der Gegendiagonalen. Ab 4 × 4 funktioniert Sarrus nicht mehr; dann hilft die Entwicklung nach einer Zeile (Laplace) oder, wie im Rechner, das Gauß-Verfahren, das die Matrix auf Dreiecksform bringt und die Diagonale multipliziert. Geometrisch ist die Determinante ein Volumen: Bei 2 × 2 die Fläche des Parallelogramms, das die Spaltenvektoren aufspannen, bei 3 × 3 das Volumen des Spats, mit Vorzeichen je nach Orientierung. Zwei Regeln sparen Arbeit: Vertauscht man zwei Zeilen, wechselt das Vorzeichen; addiert man das Vielfache einer Zeile zu einer anderen, ändert sich nichts. Und die Determinante der Transponierten ist dieselbe.

Inverse Matrix: Die Division für Matrizen

Matrizen kann man nicht dividieren, aber invertieren. Die inverse Matrix A⁻¹ ist die Matrix, für die A · A⁻¹ die Einheitsmatrix ergibt, die Matrix mit Einsen auf der Diagonale und Nullen sonst. Mit ihr löst man das Gleichungssystem A · x = b durch x = A⁻¹ · b, so wie man eine Zahlengleichung durch Teilen löst. Für 2 × 2 gibt es die Formel aus dem Merksatz: Diagonalelemente tauschen, die anderen beiden negieren, durch die Determinante teilen; (2 1; 5 3) wird so zu (3 -1; -5 2). Für größere Matrizen nutzt der Rechner das Gauß-Jordan-Verfahren: Die Matrix wird neben die Einheitsmatrix geschrieben und durch Zeilenumformungen selbst zur Einheitsmatrix gemacht, dann steht rechts die Inverse. Existieren kann die Inverse nur, wenn die Determinante nicht null ist; (1 2; 2 4) hat keine. In der Praxis ist die Inverse vor allem ein Werkzeug der Theorie: Gleichungssysteme löst man numerisch besser direkt mit Gauß, weil das Invertieren bei Determinanten nahe null ungenau wird; die Zahlen in der Inversen werden dann riesig, und kleine Rundungsfehler in der Ausgangsmatrix verändern das Ergebnis stark. Man nennt solche Matrizen schlecht konditioniert. Die Probe A · A⁻¹ im Rechner zeigt das: Wenn statt 1 und 0 Werte wie 0,9999 und 0,0001 erscheinen, ist Vorsicht geboten.

Matrixmultiplikation: Zeile mal Spalte und warum A · B nicht B · A ist

Das Produkt zweier Matrizen entsteht nach der Regel Zeile mal Spalte: Das Element in Zeile i und Spalte j des Produkts ist das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B. Dafür muss die Spaltenzahl von A gleich der Zeilenzahl von B sein; eine 2 × 3-Matrix mal einer 3 × 2-Matrix ergibt eine 2 × 2-Matrix, umgekehrt eine 3 × 3. Die Multiplikation ist assoziativ und distributiv, aber nicht kommutativ: (1 2; 3 4) · (5 6; 7 8) ist (19 22; 43 50), B · A dagegen (23 34; 31 46). Das ist kein Schönheitsfehler, sondern die Natur der Sache, denn Matrizen beschreiben Abbildungen, und erst drehen, dann spiegeln ist etwas anderes als erst spiegeln, dann drehen. Genau darum ist die Matrixmultiplikation das Werkzeug der Computergrafik, wo jede Drehung, Verschiebung und Skalierung eine 4 × 4-Matrix ist und ein Objekt mit einer einzigen Produktmatrix transformiert wird; der Grafikprozessor tut nichts anderes als Milliarden solcher Produkte je Sekunde. Die Transponierte Aᵀ entsteht durch Vertauschen von Zeilen und Spalten; sie taucht in Formeln wie (A · B)ᵀ = Bᵀ · Aᵀ auf und in der Statistik, wo Xᵀ · X den Kern jeder Regression bildet.

Ein Stück Geschichte

Determinanten sind älter als Matrizen. Der japanische Mathematiker Seki Takakazu berechnete 1683 Determinanten zur Lösung von Gleichungssystemen, zehn Jahre bevor Gottfried Wilhelm Leibniz in einem Brief an de l'Hospital dasselbe in Europa beschrieb. Gabriel Cramer veröffentlichte 1750 seine Regel, mit der sich Gleichungssysteme über Determinantenquotienten lösen lassen, und Pierre-Simon Laplace die Entwicklung nach Zeilen 1772. Den Begriff Determinante prägte Carl Friedrich Gauß 1801 in den "Disquisitiones Arithmeticae", das Eliminationsverfahren beschrieb er 1810 für die Bahnberechnung von Asteroiden; die Regel von Sarrus stammt von dem Franzosen Pierre Frédéric Sarrus aus dem Jahr 1833. Das Wort Matrix führte James Joseph Sylvester 1850 ein, sein Freund Arthur Cayley begründete 1858 mit "A Memoir on the Theory of Matrices" das Rechnen mit Matrizen samt Multiplikation und Inverse. Lange galt das als Spielerei, bis Werner Heisenberg 1925 die Quantenmechanik als Matrizenrechnung formulierte und John von Neumann in den 1940er-Jahren Matrizen zum Kern des Computers machte. Heute steckt die Matrixmultiplikation in jedem neuronalen Netz, und die Frage, wie schnell sie sich berechnen lässt, ist eines der offenen Probleme der Informatik.

Praktische Tipps

Prüfen Sie vor dem Multiplizieren die Maße: Spalten von A müssen zu Zeilen von B passen, sonst gibt es kein Produkt, und der Rechner sagt das. Rechnen Sie die Determinante zuerst, wenn Sie eine Inverse brauchen; bei null sparen Sie sich den Rest. Nutzen Sie bei 3 × 3 den ausgeschriebenen Sarrus-Rechenweg zum Lernen und für Klausuren, dort wird er verlangt. Kontrollieren Sie Inverse mit der Probe A · A⁻¹, der Rechner zeigt sie als Tabelle. Tragen Sie Brüche als Dezimalzahlen ein, 1/3 als 0,3333, oder skalieren Sie die Matrix mit dem Hauptnenner, die Determinante ändert sich dann um den Faktor hoch n. Und bei Gleichungssystemen in der Schule bleibt Gauß mit Zeilenumformungen der schnellste Weg, die Inverse ist für Theorie und Wiederverwendung. Was ein Vektor als 1 × n-Matrix tut, zeigt der Vektorrechner, Nullstellen des charakteristischen Polynoms der Nullstellenrechner, und für die Statistik hinter Xᵀ · X der Regressionsrechner.