Gleichungssystem-Rechner

So funktioniert der Gleichungssystem-Rechner

Der Gleichungssystem-Rechner löst lineare Gleichungssysteme mit zwei oder drei Unbekannten. Sie wählen die Zahl der Gleichungen und tippen sie so ein, wie sie im Heft stehen, 2x + 3y = 12 und x - y = 1, mit x, y und z, Plus, Minus, Zahlen vor den Variablen und einer Zahl rechts. Der Rechner zeigt die Lösung, die Probe durch Einsetzen in jede Gleichung, die Koeffizientenmatrix und die rechte Seite; hat das System keine eindeutige Lösung, sagt er, dass die Gleichungen abhängig sind oder sich widersprechen.

Merksatz: So viele Gleichungen wie Unbekannte, und keine Gleichung darf ein Vielfaches einer anderen sein. Die Eselsbrücke für die drei Verfahren: Einsetzen, wenn eine Gleichung schon nach einer Variablen aufgelöst ist; Gleichsetzen, wenn beide nach derselben Variablen aufgelöst sind; Addieren, wenn sich eine Variable durch Addieren der Gleichungen wegheben lässt.

Drei Beispiele:

• 2x + 3y = 12 und x - y = 1: x = 3, y = 2; Probe 6 + 6 = 12 und 3 - 2 = 1.
• x + y + z = 6, 2x - y + z = 3, x + 2y - z = 2: x = 1, y = 2, z = 3; Probe 6 = 6, 3 = 3, 2 = 2.
• 3x + 2y = 7 und 6x + 4y = 14: keine eindeutige Lösung, die zweite Gleichung ist das Doppelte der ersten, unendlich viele Lösungen; 6x + 4y = 10 dagegen widerspricht der ersten, keine Lösung.

Die Regel: Ein lineares System mit n Gleichungen und n Unbekannten hat genau eine Lösung, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich 0 ist; bei Determinante 0 gibt es keine oder unendlich viele. Für Gleichungen mit x² gibt es den Rechner für quadratische Gleichungen, für Nullstellen von Polynomen den Nullstellen-Rechner.

Wissenswertes zum Thema

Die drei Verfahren der Schule

Das Einsetzungsverfahren: Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und in die andere einsetzen. Aus x - y = 1 folgt x = y + 1, eingesetzt in 2x + 3y = 12 gibt 2(y + 1) + 3y = 12, also 5y = 10, y = 2 und x = 3. Das Gleichsetzungsverfahren: Beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen und die rechten Seiten gleichsetzen, x = 6 - 1,5y und x = y + 1, also 6 - 1,5y = y + 1, 2,5y = 5, y = 2. Das Additionsverfahren: Eine Gleichung so multiplizieren, dass sich beim Addieren eine Variable aufhebt, die zweite mal 3 gibt 3x - 3y = 3, addiert zur ersten 5x = 15, x = 3; es ist das Verfahren für drei und mehr Unbekannte, weil es sich systematisch wiederholen lässt, und in der Hochschule heißt es Gauß-Algorithmus: Die Koeffizienten in eine Matrix schreiben, durch Zeilenoperationen auf Dreiecksform bringen und von unten nach oben auflösen, genau das, was der Rechner intern macht. Beim System mit drei Unbekannten eliminiert man zuerst z aus zwei Gleichungspaaren, bekommt ein System mit x und y, löst es und rechnet z zurück; die Probe am Ende, jede Lösung in jede Ausgangsgleichung einsetzen, ist in der Klausur Pflicht und im Rechner eingebaut. Welches Verfahren man nimmt, ist Geschmackssache, die Lösung ist dieselbe. Rechnungen mit Brüchen, die dabei entstehen, erledigt der Bruchrechner.

Keine, eine oder unendlich viele Lösungen

Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten sind zwei Geraden in der Ebene, und die Lösung ist ihr Schnittpunkt: Schneiden sie sich, gibt es genau eine Lösung, x = 3 und y = 2; sind sie parallel, gibt es keine, 3x + 2y = 7 und 6x + 4y = 10 sind parallel, weil die linke Seite das Doppelte ist und die rechte nicht; sind sie identisch, liegt jede der unendlich vielen Lösungen auf der Geraden, 3x + 2y = 7 und 6x + 4y = 14. Bei drei Unbekannten sind es drei Ebenen im Raum, die sich in einem Punkt, in einer Geraden, in einer Ebene oder gar nicht schneiden. Rechnerisch entscheidet die Determinante der Koeffizientenmatrix, bei 2 × 2 ist sie a·d - b·c, bei 2x + 3y und x - y also 2·(-1) - 3·1 = -5, ungleich null, eindeutig lösbar; bei 3x + 2y und 6x + 4y ist sie 12 - 12 = 0, und dann muss man hinsehen, ob die rechte Seite mitgeht, was der Rechner mit der Meldung "abhängig oder widersprüchlich" offenlässt, weil er nicht zwischen beiden Fällen unterscheidet. In der Praxis heißt Determinante nahe null, dass das System schlecht konditioniert ist, kleine Änderungen der Zahlen ändern die Lösung stark, ein Problem der Messtechnik und der Statistik. Mehr Gleichungen als Unbekannte, überbestimmt, hat meist keine exakte Lösung, dann sucht man die beste Näherung mit kleinsten Quadraten; weniger Gleichungen als Unbekannte, unterbestimmt, hat unendlich viele, und man braucht Zusatzbedingungen. Wie sich zwei Größen im Verhältnis verändern, rechnet der Dreisatz-Rechner.

Gleichungssysteme im Alltag

Textaufgaben sind Gleichungssysteme: Drei Kaffee und zwei Kuchen kosten 15,50 Euro, zwei Kaffee und drei Kuchen 16,50, was kostet der Kaffee? 3k + 2u = 15,5 und 2k + 3u = 16,5, Lösung k = 2,70 und u = 3,70. Mischungsaufgaben: Wie viel 40-prozentiger und wie viel 70-prozentiger Alkohol ergeben 10 Liter mit 52 Prozent, x + y = 10 und 0,4x + 0,7y = 5,2, x = 6, y = 4. Alter: Der Vater ist dreimal so alt wie der Sohn, in zehn Jahren doppelt so alt. Bewegung: Zwei Züge fahren aufeinander zu, wann treffen sie sich. Dazu die Anwendungen, die niemand mehr von Hand rechnet, aber jeder nutzt: Stromkreise mit Kirchhoffs Regeln, Statik mit Kräftegleichgewichten in jedem Knoten einer Brücke, Chemie beim Ausgleichen von Reaktionsgleichungen, Ökonomie in Input-Output-Modellen mit hunderten Gleichungen, Navigation beim GPS, wo vier Satellitensignale ein System mit vier Unbekannten für Position und Zeit ergeben, und die Computergrafik, in der jede Drehung und Projektion ein lineares System ist. Lineare Regression, die Linie durch eine Punktwolke, ist ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, Steigung und Achsenabschnitt. Wie Prozentmischungen sonst gerechnet werden, zeigt der Prozentrechner.

Ein Stück Geschichte: Neun Kapitel und ein Astronom

Das Additionsverfahren mit Matrix stand schon vor 2.000 Jahren in China: Die "Neun Kapitel der Rechenkunst", Jiuzhang Suanshu, um 100 v. Chr., enthalten im achten Kapitel "Fang cheng", rechteckige Anordnung, Aufgaben mit bis zu fünf Unbekannten, die mit Rechenstäbchen auf einem Brett in Spalten gelegt und durch Spaltenoperationen gelöst wurden, genau der Gauß-Algorithmus, nur um 1.900 Jahre früher; eine Aufgabe fragt nach dem Preis von Reisgarben dreier Qualitäten aus drei Erntemischungen. In Europa löste man Systeme bis ins 18. Jahrhundert durch Einsetzen, Gabriel Cramer veröffentlichte 1750 seine Regel mit Determinanten, die Leibniz 1693 in einem Brief an l'Hospital schon beschrieben hatte, und Carl Friedrich Gauß nutzte das Eliminationsverfahren 1809 für die Bahnberechnung des Asteroiden Pallas aus Beobachtungen, mit sechs Unbekannten, und 1810 für die Landesvermessung von Hannover, bei der er Systeme mit über zwanzig Unbekannten von Hand löste; der Name Gauß-Algorithmus kam erst im 20. Jahrhundert. Die Matrix als eigenes Objekt schuf Arthur Cayley 1858, das Wort "Matrix" hatte James Sylvester 1850 gewählt. Mit den Computern der 1940er wurden Gleichungssysteme zur Standardaufgabe, John von Neumann analysierte 1947 die Rundungsfehler, und heute lösen Rechenzentren Systeme mit Milliarden Unbekannten für Wettervorhersage und Strömungssimulation. Der Rechner legt die Stäbchen der Neun Kapitel in Sekundenbruchteilen.

Praktische Tipps

Schreiben Sie jede Gleichung mit allen Variablen auf die linke Seite und der Zahl rechts, 2x + 3y = 12, nicht 2x = 12 - 3y. Tippen Sie Koeffizienten vor die Variable, 3x, und lassen Sie die 1 weg, x statt 1x. Prüfen Sie bei der Meldung "keine eindeutige Lösung", ob eine Gleichung ein Vielfaches einer anderen ist. Lösen Sie in der Klausur mit dem Verfahren, das die wenigsten Brüche erzeugt, meist Addition. Machen Sie die Probe in allen Gleichungen, nicht nur in einer. Zeichnen Sie bei zwei Unbekannten die Geraden, dann sehen Sie, was los ist. Und übersetzen Sie Textaufgaben zuerst in Variablen, bevor Sie rechnen. Die Potenzen in nichtlinearen Systemen rechnet der Potenzrechner vor.