Standardabweichungs-Rechner
Wie stark die Werte um den Mittelwert streuen: Standardabweichung und Varianz, Stichprobe und Grundgesamtheit.
Wie groß ist die Streuung?
Werte mit Leerzeichen getrennt eintragen.
Beispiel: 2,5 3,1 2,8 3,6 2,9 3,3: Standardabweichung 0,3882
So funktioniert der Standardabweichungs-Rechner
Der Standardabweichungs-Rechner nimmt eine Zahlenreihe, mit Leerzeichen getrennt, und zeigt den Mittelwert, die Standardabweichung und die Varianz, jeweils für die Stichprobe mit Teiler n - 1 und für die Grundgesamtheit mit Teiler n, dazu den Variationskoeffizienten, die Streuung in Prozent des Mittelwerts, die Spannweite und den Bereich, in dem rund zwei Drittel der Werte liegen, Mittelwert plus minus eine Standardabweichung.
Merksatz: Die Varianz ist der Durchschnitt der quadrierten Abstände vom Mittelwert, die Standardabweichung ist ihre Wurzel und hat wieder die Einheit der Daten. Die Eselsbrücke für n - 1: Wer nur eine Stichprobe hat, kennt den wahren Mittelwert nicht und unterschätzt die Streuung, deshalb teilt man durch eins weniger und bekommt eine etwas größere Zahl, bei großem n macht es keinen Unterschied.
Drei Beispiele:
- 2,5 3,1 2,8 3,6 2,9 3,3: Mittelwert 3,0333, Standardabweichung der Stichprobe 0,3882, der Grundgesamtheit 0,3543, Varianz 0,1507 und 0,1256, Variationskoeffizient 12,8 Prozent, zwei Drittel zwischen 2,65 und 3,42.
- 4 8 6 5 3 7 5 6: Mittelwert 5,5, Standardabweichung 1,6036 und 1,5, Varianz 2,5714 und 2,25, Variationskoeffizient 29,16 Prozent, Spannweite 3 bis 8.
- Körpergrößen 170 165 180 175 160 185 172 168: Mittelwert 171,875 cm, Standardabweichung 8,06 cm, Variationskoeffizient 4,69 Prozent, zwei Drittel zwischen 163,8 und 179,9 cm.
Formeln: Varianz s² = Σ(x - x̄)² / (n - 1) für die Stichprobe, σ² = Σ(x - x̄)² / n für die Grundgesamtheit, Standardabweichung = √Varianz, Variationskoeffizient = s / x̄ × 100. Mittelwert, Median und Modus allein liefert der Durchschnittsrechner, die Wurzel aus der Varianz der Wurzelrechner.
Wissenswertes zum Thema
Was die Standardabweichung sagt
Der Mittelwert allein verschweigt alles über die Verteilung: Zwei Klassen mit Notenschnitt 3,0 können aus lauter Dreien bestehen oder aus Einsen und Fünfen, und die Standardabweichung macht den Unterschied sichtbar, 0 im ersten Fall, 2 im zweiten. Sie ist der typische Abstand eines Wertes vom Mittelwert, in derselben Einheit wie die Daten, Zentimeter bei Körpergrößen, Euro bei Preisen, Notenpunkte bei Noten, und das ist ihr Vorteil gegenüber der Varianz, die in Quadratzentimetern oder Quadrateuro käme und sich nur für die Rechnung eignet. Bei normalverteilten Daten, der Glockenkurve, gilt die 68-95-99,7-Regel: 68 Prozent der Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert, 95 Prozent innerhalb von zwei, 99,7 innerhalb von drei; deshalb zeigt der Rechner den Bereich Mittelwert plus minus s, bei den Körpergrößen 163,8 bis 179,9 cm. Männer in Deutschland sind im Schnitt 178 cm groß mit 7 cm Standardabweichung, also sind 95 Prozent zwischen 164 und 192, und wer 200 cm misst, liegt gut drei Standardabweichungen über dem Mittel, einer von tausend. Der Variationskoeffizient teilt die Standardabweichung durch den Mittelwert und macht Streuungen vergleichbar, die in verschiedenen Einheiten oder Größenordnungen vorliegen: 4,69 Prozent bei Körpergrößen sind wenig, 29 Prozent bei den Werten 3 bis 8 sind viel, und Aktienkurse mit 20 Prozent Volatilität im Jahr sind riskanter als Anleihen mit 5. Was aus Noten ein Schnitt wird, rechnet der Notendurchschnitt-Rechner.
Stichprobe oder Grundgesamtheit: n oder n - 1
Die Frage, durch die der Rechner zwei Werte zeigt, verwirrt Schüler und Studenten seit Generationen. Haben Sie alle Werte, die es gibt, die Noten der ganzen Klasse, die Umsätze aller zwölf Monate, dann beschreiben Sie eine Grundgesamtheit und teilen durch n; die Standardabweichung ist dann einfach die Wurzel aus dem Durchschnitt der quadrierten Abweichungen, 1,5 beim Beispiel mit acht Werten. Haben Sie nur eine Stichprobe und wollen auf die Streuung der Gesamtheit schließen, zehn gemessene Schrauben aus einer Produktion von tausend, dann teilen Sie durch n - 1, die Bessel-Korrektur, und bekommen 1,6036; der Grund ist, dass Sie den Mittelwert aus derselben Stichprobe geschätzt haben und die Abweichungen von diesem geschätzten Mittel systematisch kleiner ausfallen als vom wahren, ein Freiheitsgrad ist verbraucht. Bei 6 Werten ist der Unterschied 10 Prozent, bei 30 Werten 2 Prozent, bei 1.000 Werten verschwindet er. In der Praxis gilt: Schule und Beschreibung einer vollständigen Datenreihe meist n, Statistik, Wissenschaft, Qualitätskontrolle und alles, was auf mehr schließen will, n - 1, und Excel hat dafür STABW.N und STABW.S, Taschenrechner σn und σn-1. Wer unsicher ist, nimmt n - 1, es ist die vorsichtigere Schätzung. Wie man aus Prozentwerten Streuungen bildet, zeigt der Prozentrechner.
Von Hand rechnen und typische Fehler
Der Rechenweg in vier Schritten: Mittelwert bilden, 2,5 + 3,1 + 2,8 + 3,6 + 2,9 + 3,3 = 18,2 durch 6 gleich 3,0333; Abweichungen bilden, -0,5333, 0,0667, -0,2333, 0,5667, -0,1333, 0,2667; quadrieren und addieren, 0,2844 + 0,0044 + 0,0544 + 0,3211 + 0,0178 + 0,0711 = 0,7533; durch n - 1 gleich 5 teilen, 0,1507, Wurzel 0,3882. Der häufigste Fehler ist, die Abweichungen ohne Quadrat zu addieren, was immer null ergibt, der zweite, durch n statt n - 1 zu teilen oder umgekehrt, der dritte, die Wurzel zu vergessen und die Varianz als Standardabweichung auszugeben, der vierte, Rundungen zu früh vorzunehmen, weshalb der Rechner mit vier Nachkommastellen arbeitet. Die Verschiebungsformel, Varianz gleich Mittel der Quadrate minus Quadrat des Mittels, spart Rechenarbeit, ist aber bei großen Zahlen numerisch anfällig. Die Standardabweichung ist empfindlich gegen Ausreißer, ein einziger Wert von 300 bei den Körpergrößen würde sie von 8 auf 44 cm treiben, und bei schiefen Daten wie Einkommen oder Hauspreisen sind Median und Quartilsabstand die bessere Beschreibung. Die Potenzen und Wurzeln für die Handrechnung liefert der Potenzrechner.
Ein Stück Geschichte: Von Gauß' Fehlerkurve zu Pearsons Sigma
Dass Messfehler einer Glockenkurve folgen, zeigte Gauß 1809 bei der Bahnberechnung des Asteroiden Ceres, und seine "Methode der kleinsten Quadrate" ist der Grund, warum Abweichungen quadriert werden: Quadrate bestrafen große Fehler stärker, sind überall differenzierbar und führen zum Mittelwert als bestem Schätzer. Den Begriff "standard deviation" prägte Karl Pearson 1893 in London, als Ersatz für Gauß' "mittleren Fehler" und Galtons "probable error", und führte das Zeichen σ ein; die Bessel-Korrektur n - 1 geht auf Friedrich Wilhelm Bessel zurück, den Königsberger Astronomen, der um 1830 erkannte, dass die Streuung aus der Stichprobe zu klein geschätzt wird. William Gosset, Braumeister bei Guinness in Dublin, veröffentlichte 1908 unter dem Pseudonym "Student" die t-Verteilung, weil er mit kleinen Stichproben von Gerste arbeiten musste und die Brauerei keine Publikationen erlaubte. Walter Shewhart nutzte die Standardabweichung ab 1924 bei Bell Labs für die Qualitätskontrolle mit Regelkarten, und Six Sigma, Motorolas Programm von 1986, verlangt, dass die Toleranz sechs Standardabweichungen vom Mittel entfernt liegt, 3,4 Fehler je Million. In der Finanzwelt wurde die Standardabweichung der Renditen 1952 durch Harry Markowitz zum Maß für Risiko, die Volatilität. Der Rechner rechnet Pearsons Sigma mit Bessels Korrektur.
Praktische Tipps
Entscheiden Sie zuerst, ob Sie alle Werte haben oder eine Stichprobe, und nehmen Sie entsprechend n oder n - 1; im Zweifel n - 1. Prüfen Sie die Daten auf Ausreißer, bevor Sie die Streuung interpretieren. Nutzen Sie den Variationskoeffizienten für Vergleiche zwischen verschiedenen Größen. Lesen Sie die Zwei-Drittel-Spanne als Faustregel, sie gilt nur bei annähernd normalverteilten Daten. Runden Sie erst am Ende. Tippen Sie Dezimalzahlen mit Komma und trennen Sie Werte mit Leerzeichen. Und bei Noten, Einkommen und anderen schiefen Daten ergänzen Sie den Median. Mittelwert, Median und Modus auf einen Blick zeigt der Durchschnittsrechner.
Häufige Fragen
Wie berechnet man die Standardabweichung?
Mittelwert bilden, Abweichungen jedes Wertes quadrieren, addieren, durch n - 1 teilen, Wurzel ziehen. Für 2,5 3,1 2,8 3,6 2,9 3,3: Mittelwert 3,0333, Summe der Quadrate 0,7533, durch 5 gleich 0,1507, Wurzel 0,3882. Mit Teiler 6 statt 5 ergibt sich 0,3543.
Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?
Die Varianz ist der Mittelwert der quadrierten Abweichungen und hat die Einheit im Quadrat, die Standardabweichung ist ihre Wurzel und hat die Einheit der Daten. Bei den Werten 4 8 6 5 3 7 5 6 ist die Varianz 2,5714 und die Standardabweichung 1,6036.
Wann teile ich durch n und wann durch n - 1?
Durch n, wenn Sie alle Werte der Grundgesamtheit haben, etwa alle Noten einer Klasse. Durch n - 1, wenn die Werte eine Stichprobe sind und Sie auf die Gesamtheit schließen wollen. Bei 8 Werten ergibt das 1,5 beziehungsweise 1,6036; ab etwa 30 Werten ist der Unterschied klein.
Was bedeutet die Standardabweichung anschaulich?
Den typischen Abstand eines Wertes vom Mittelwert. Bei normalverteilten Daten liegen 68 Prozent der Werte innerhalb einer Standardabweichung, 95 Prozent innerhalb von zwei. Körpergrößen mit Mittelwert 171,9 cm und Standardabweichung 8,06 cm: zwei Drittel liegen zwischen 163,8 und 179,9 cm.
Was ist der Variationskoeffizient?
Die Standardabweichung geteilt durch den Mittelwert, in Prozent. Er macht Streuungen verschiedener Größen vergleichbar: 4,69 Prozent bei Körpergrößen sind wenig, 29,16 Prozent bei den Werten 3 bis 8 sind viel. Er ist nur bei Mittelwerten deutlich über null sinnvoll.
Ist eine hohe Standardabweichung gut oder schlecht?
Das hängt vom Zweck ab. In der Produktion und bei Messungen ist klein gut, weil es Gleichmäßigkeit bedeutet. Bei Geldanlagen heißt hohe Standardabweichung hohes Risiko. Bei Noten oder Umfragen zeigt sie, wie unterschiedlich die Gruppe ist, ohne Wertung.
Welche Excel-Funktion berechnet die Standardabweichung?
STABW.S für die Stichprobe mit n - 1, STABW.N für die Grundgesamtheit mit n; die alte Funktion STABW entspricht STABW.S. Für die Varianz VAR.S und VAR.P. Taschenrechner zeigen σn-1 und σn oder sx und σx.
Wie wirken Ausreißer auf die Standardabweichung?
Stark, weil die Abweichungen quadriert werden. Ein einzelner Wert von 300 unter den Körpergrößen 160 bis 185 würde die Standardabweichung von 8 auf rund 44 cm treiben. Bei schiefen Daten wie Einkommen sind Median und Quartilsabstand robuster.