Steigungsrechner

So funktioniert der Steigungsrechner

Der Steigungsrechner hat drei Kästen für drei Alltagsfragen. Der erste rechnet die Steigung in Prozent, den Steigungswinkel in Grad und das Verhältnis 1 : x ineinander um, egal welche Angabe Sie haben; dazu nennt er die Höhe je 100 Meter und je Kilometer, die schräge Weglänge und ordnet die Steigung ein, von barrierefrei bis Skipiste. Der zweite Kasten bestimmt die Steigung aus zwei Punkten und stellt die Geradengleichung y = m · x + b auf, mit Winkel, Nullstelle und Abstand der Punkte, so wie es in der Schule ab der achten Klasse gebraucht wird. Der dritte Kasten rechnet den Höhenunterschied aus Strecke und Steigung, wahlweise mit der waagerechten Strecke aus der Karte oder der schrägen Wegstrecke vom Radcomputer.

Merksatz: Prozent ist Höhe durch Strecke mal 100, und 100 Prozent sind 45 Grad, nicht 90. Eselsbrücke für Rampen: 6 Prozent sind 1 : 16,7 und barrierefrei, 12 Prozent sind 1 : 8,3 und schon eine Garageneinfahrt.

Drei Beispiele:

• 12 Prozent Steigung: Winkel 6,84 Grad, Verhältnis 1 : 8,33, 12 Meter Höhe je 100 Meter, 120 Meter je Kilometer. 30 Grad entsprechen 57,74 Prozent und 1 : 1,73, ein Verhältnis von 1 : 12 sind 8,33 Prozent und 4,76 Grad, 45 Grad sind genau 100 Prozent.
• Gerade durch (1 | 2) und (4 | 8): Steigung m = 2, Gleichung y = 2 · x + 0, Winkel 63,43 Grad. Durch (-2 | 5) und (3 | -5): m = -2, y = -2 · x + 1, Nullstelle bei x = 0,5.
• 2.500 Meter waagerechte Strecke mit 8 Prozent: Höhenunterschied 200 Meter, schräge Wegstrecke 2.507,99 Meter, Winkel 4,57 Grad. Eine 12 Meter lange Rampe mit 6 Prozent überwindet 0,72 Meter und ist barrierefrei.

Formeln: Steigung in Prozent = Höhe / waagerechte Strecke × 100, Winkel = arctan(Prozent / 100), Verhältnis 1 : (100 / Prozent), m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁), b = y₁ - m · x₁. Wer mehr als zwei Punkte hat, nimmt den Regressionsrechner; die Winkelfunktion hinter dem Grad liefert der Sinus-Cosinus-Tangens-Rechner, und fürs Dach gibt es den Dachneigungsrechner.

Wissenswertes zum Thema

Prozent, Grad und Verhältnis: Drei Sprachen für dieselbe Steigung

Verkehrsschilder sprechen in Prozent, Dachdecker und Mathematiker in Grad, Rampenbauer und Rohrleger in Verhältnissen, und alle meinen dasselbe. Die Steigung in Prozent ist der Höhenunterschied geteilt durch die waagerechte Strecke mal 100; 12 Prozent heißen 12 Meter hoch auf 100 Meter Karte. Der Winkel ergibt sich über den Arkustangens: 12 Prozent sind 6,84 Grad. Weil der Tangens nicht linear ist, wächst der Winkel mit der Prozentzahl immer langsamer: 50 Prozent sind 26,6 Grad, 100 Prozent sind 45 Grad, und 90 Grad wären unendlich viele Prozent, die Senkrechte. Das Verhältnis 1 : x sagt, auf wie viel Strecke ein Meter Höhe kommt; 1 : 12 sind 8,33 Prozent, 1 : 20 sind 5 Prozent. Ein verbreiteter Irrtum ist die schräge Strecke als Bezugsgröße: Der Radcomputer misst die gefahrene Wegstrecke, die Steigungsangabe bezieht sich aber auf die waagerechte Projektion. Bei 8 Prozent beträgt der Unterschied nur 0,3 Prozent der Strecke, bei 30 Prozent schon 4,4 Prozent; der dritte Kasten rechnet beides. Zur Einordnung: Autobahnen haben höchstens 4 Prozent, Bundesstraßen bis 8, Alpenpässe bis 15, die steilsten Straßen Deutschlands im Schwarzwald und im Harz rund 30 Prozent; Radwege sollen unter 6 Prozent bleiben, Bergwanderwege erreichen 50 und mehr.

Steigung aus zwei Punkten: Die Gerade und ihr Steigungsdreieck

In der Schulmathematik ist die Steigung die Zahl m in der Geradengleichung y = m · x + b. Sie beschreibt, um wie viel y steigt, wenn x um 1 wächst, und lässt sich aus zwei beliebigen Punkten der Geraden ablesen: m = Δy / Δx, Differenz der y-Werte durch Differenz der x-Werte. Das Steigungsdreieck macht das anschaulich: eine Einheit nach rechts, m Einheiten nach oben. Mit m und einem Punkt folgt der y-Achsenabschnitt b = y₁ - m · x₁, und die Gerade ist bestimmt. Der Rechner gibt dazu den Steigungswinkel über arctan(m), die Nullstelle bei x = -b / m, wo die Gerade die x-Achse schneidet, und den Abstand der beiden Punkte nach Pythagoras. Negative Steigung heißt fallende Gerade, m = 0 eine Waagerechte, und zwei Punkte mit gleichem x ergeben eine Senkrechte ohne definierte Steigung; der Rechner weist darauf hin, statt durch null zu teilen. Dieselbe Rechnung steckt in jeder linearen Interpolation, etwa wenn aus zwei Tabellenwerten ein Zwischenwert gebildet wird, und in jeder Durchschnittsgeschwindigkeit, denn die ist nichts anderes als die Steigung im Weg-Zeit-Diagramm.

Rampen, Dächer, Abwasser: Steigung in der Praxis

Für barrierefreie Rampen schreibt die DIN 18040 höchstens 6 Prozent Steigung vor, dazu alle 6 Meter ein Zwischenpodest von 1,5 Metern Länge und beidseitige Handläufe; eine Stufe von 18 Zentimetern braucht so eine Rampe von 3 Metern. Rollstuhlrampen im Privatbereich werden oft steiler gebaut, 10 bis 12 Prozent sind mit Hilfe noch zu bewältigen, mehr nicht. Beim Dach wird in Grad gemessen: Ein Satteldach mit 35 Grad entspricht 70 Prozent, Flachdächer haben 2 bis 5 Grad Gefälle. In der Entwässerung rechnet man mit Promille oder Verhältnissen: Abwasserleitungen brauchen 1 bis 2 Prozent Gefälle, also 1 : 50 bis 1 : 100, Regenrinnen 1 bis 3 Millimeter je Meter. Bei Treppen gilt die Schrittmaßregel, nicht die Prozentangabe, dort ist der Treppenrechner zuständig. Und beim Radfahren erklärt die Steigung die Anstrengung: Bei 10 Prozent muss ein 80 Kilogramm schweres Gespann aus Fahrer und Rad zusätzlich zur Rollreibung etwa 78 Newton bergauf drücken, bei 15 Kilometern pro Stunde sind das rund 330 Watt, mehr als die meisten Hobbyfahrer dauerhaft treten.

Ein Stück Geschichte

Steigungen zu messen war schon den römischen Ingenieuren vertraut: Ihre Aquädukte hatten Gefälle von nur 0,2 bis 0,5 Promille, die Pont du Gard fällt auf 50 Kilometern Länge um 12 Meter, gemessen mit dem Chorobates, einer sechs Meter langen Wasserwaage. Die Prozentangabe setzte sich mit dem Eisenbahnbau im 19. Jahrhundert durch, weil Lokomotiven auf glatten Schienen nur wenige Prozent schaffen; die Semmeringbahn von 1854 galt mit 25 Promille als Wunderwerk, und bis heute ist die Steigung die wichtigste Zahl im Bahnbau. Die Verkehrsschilder mit der Prozentzahl kamen mit dem Automobil, in Deutschland in den 1930er-Jahren. Der mathematische Steigungsbegriff ist älter: René Descartes verband 1637 in seiner "Geometrie" Algebra und Geometrie und machte die Gerade zur Gleichung, Leibniz und Newton erweiterten den Gedanken um 1680 zur Ableitung, der Steigung einer Kurve in einem Punkt. Das Steigungsdreieck als Unterrichtsmethode stammt aus den Lehrbüchern des 19. Jahrhunderts, als die Geradengleichung in den Lehrplan der Realschulen kam.

Praktische Tipps

Klären Sie vor jeder Rechnung, ob die Strecke waagerecht oder schräg gemessen ist; Karten und Grundrisse liefern die waagerechte, Maßband und Radcomputer die schräge. Nutzen Sie für Rampen das Verhältnis, es ist in Normen und Bauanleitungen üblich: 1 : 12 bei Hilfsmitteln, 1 : 20 für Komfort. Rechnen Sie Dachneigungen in Grad, Straßen in Prozent, Rohre in Prozent oder Promille, und verwechseln Sie Prozent nie mit Grad, der Fehler ist bis 10 Prozent klein und ab 30 Prozent erheblich. Prüfen Sie bei der Geradengleichung die Lösung, indem Sie einen der beiden Punkte einsetzen. Und messen Sie Steigungen im Gelände mit der Neigungsfunktion des Smartphones oder mit einer 1 Meter langen Latte und der Wasserwaage: 12 Zentimeter Höhenunterschied am Ende sind 12 Prozent. Für Treppen gilt der Treppenrechner, für Rechtecke und Diagonalen der Pythagoras-Rechner, und für Zeichnungen der Maßstabrechner.