Bruchrechner

So funktioniert der Bruchrechner

Der Bruchrechner hat fünf Kästen: Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren und einen Bruch kürzen und umwandeln. Zähler und Nenner eintragen, und der Rechner zeigt das Ergebnis vollständig gekürzt, als gemischte Zahl, wenn der Zähler größer ist als der Nenner, als Dezimalzahl mit vier Stellen und als Prozent, beim Kürzen zusätzlich den größten gemeinsamen Teiler und den Kehrwert. Er rechnet mit ganzen Zahlen in Zähler und Nenner und eignet sich für Hausaufgaben, Rezepte, Zollmaße und alles, was in Vierteln und Achteln kommt.

Merksatz: Addieren und Subtrahieren brauchen den gleichen Nenner, Multiplizieren und Dividieren nicht. Die Eselsbrücke: Plus und Minus erst auf den Hauptnenner bringen, dann nur die Zähler rechnen; Mal ist Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner; Geteilt ist Mal mit dem Kehrwert, "durch einen Bruch teilt man, indem man mit dem Kehrwert multipliziert".

Drei Beispiele:

• 3/4 + 5/6: Hauptnenner 12, also 9/12 + 10/12 = 19/12, gemischt 1 7/12, dezimal 1,5833, 158,33 Prozent. 2/3 - 5/6 ergibt 4/6 - 5/6 = -1/6.
• 5/8 × 4/15: 20/120, gekürzt 1/6; 7/9 ÷ 14/3 = 7/9 × 3/14 = 21/126 = 1/6. Und 1/2 + 1/3 = 5/6, 1/2 × 1/3 = 1/6, 1/2 ÷ 1/3 = 3/2.
• 125/1000 kürzen: ggT 125, gekürzt 1/8, dezimal 0,125, 12,5 Prozent, Kehrwert 8; 36/48 gekürzt mit 12 ist 3/4, also 0,75 oder 75 Prozent.

Formeln: a/b + c/d = (a·d + c·b) / (b·d), a/b × c/d = (a·c) / (b·d), a/b ÷ c/d = (a·d) / (b·c), kürzen: Zähler und Nenner durch den ggT. Den Hauptnenner als kleinstes gemeinsames Vielfaches liefert der ggT-kgV-Rechner, Prozent aus Brüchen der Prozentrechner.

Wissenswertes zum Thema

Die vier Rechenarten Schritt für Schritt

Addieren: Hauptnenner suchen, am besten das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, bei 4 und 6 ist das 12, nicht 24; beide Brüche erweitern, 3/4 = 9/12 und 5/6 = 10/12, Zähler addieren, 19/12, kürzen, wenn möglich, und bei Zähler größer Nenner die gemischte Zahl bilden, 19 durch 12 ist 1 Rest 7, also 1 7/12. Subtrahieren genauso mit Minus, 2/3 - 5/6 = 4/6 - 5/6 = -1/6, und das Minus bleibt im Zähler. Multiplizieren ohne Hauptnenner, Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner, 5/8 × 4/15 = 20/120, und klug ist, vorher über Kreuz zu kürzen, 5 gegen 15 und 4 gegen 8, dann steht gleich 1/6 da. Dividieren durch Umdrehen des zweiten Bruchs, 7/9 ÷ 14/3 = 7/9 × 3/14, über Kreuz gekürzt 1/3 × 1/2 = 1/6. Gemischte Zahlen vor dem Rechnen in unechte Brüche verwandeln, 1 7/12 = 19/12, und ganze Zahlen als Bruch mit Nenner 1 schreiben, 3 = 3/1. Der Rechner macht das alles in einem Schritt und zeigt, womit er gekürzt hat; wer den Rechenweg für die Klausur braucht, rechnet selbst und prüft mit dem Ergebnis. Was Zähler und Nenner als Primfaktoren sind, zeigt der Primzahl-Rechner.

Kürzen, erweitern, umwandeln

Kürzen heißt, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen, und vollständig gekürzt ist ein Bruch, wenn man durch den größten gemeinsamen Teiler geteilt hat, 125/1000 durch 125 gleich 1/8, 36/48 durch 12 gleich 3/4; der ggT ist über die Primfaktorzerlegung oder den euklidischen Algorithmus zu finden, bei kleinen Zahlen über die Teilbarkeitsregeln, beide gerade, beide durch 3, beide durch 5. Erweitern ist das Gegenteil und ändert den Wert nicht, 3/4 = 9/12 = 75/100. Die Dezimalzahl entsteht durch Teilen, 1 durch 8 ist 0,125, und sie bricht ab, wenn der Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 hat, sonst wird sie periodisch, 1/3 = 0,3333 und 1/7 = 0,142857 mit Periode 6; der Rechner rundet auf vier Stellen. Umgekehrt wird aus einer Dezimalzahl ein Bruch, indem man sie über eine Zehnerpotenz schreibt und kürzt, 0,125 = 125/1000 = 1/8, bei periodischen Dezimalzahlen über 9er-Nenner, 0,333 = 3/9 = 1/3. Prozent ist der Bruch mit Nenner 100, 1/8 = 12,5/100 = 12,5 Prozent, und die Brüche, die man kennen sollte: 1/2 = 50, 1/3 = 33,3, 1/4 = 25, 1/5 = 20, 1/8 = 12,5, 1/10 = 10, 3/4 = 75, 2/3 = 66,7 Prozent. Der Kehrwert tauscht Zähler und Nenner, 8/1 bei 1/8, und ist das Werkzeug beim Dividieren und bei der Frage, wie oft ein Bruch in die Eins passt. Wie Brüche zu Prozent und zurück werden, rechnet der Prozentrechner.

Brüche im Alltag: Rezepte, Zoll, Musik, Zeit

Rezepte sind Bruchrechnung: Ein Rezept für 4 auf 6 Personen ist Faktor 6/4 = 3/2, aus 3/4 Liter Milch werden 3/4 × 3/2 = 9/8 Liter, gut einen Liter; aus einer halben Packung Hefe bei halbem Rezept ein Viertel. Zollmaße in der Werkstatt und bei amerikanischen Anleitungen kommen in Halben, Vierteln, Achteln, Sechzehnteln und Zweiunddreißigsteln, ein 5/8-Zoll-Schlüssel ist 15,875 mm, und 1/2 + 1/8 = 5/8 ist die Rechnung, wenn man Maße addiert; Bohrer in 3/32 Zoll sind 2,38 mm. Die Musik zählt in Brüchen, der Viervierteltakt hat vier Viertelnoten, eine punktierte Halbe ist 1/2 + 1/4 = 3/4, und Triolen teilen durch 3. Die Uhr ist ein Bruchrechner, eine Dreiviertelstunde plus 20 Minuten sind 3/4 + 1/3 = 13/12 Stunden, also 65 Minuten. Aktienkurse wurden in den USA bis 2001 in Sechzehnteln Dollar notiert. Im Alltag unsichtbar, aber überall: Mischungsverhältnisse 1:3, Maßstäbe 1:50, Wahrscheinlichkeiten 1/6 beim Würfel, Anteile am Erbe von 3/8, Steuersätze von 7/107 beim Herausrechnen der Mehrwertsteuer. Wer Rezepte umrechnet, nutzt den Rezeptmengen-Rechner, wer Zoll in Millimeter braucht, den Längen-Umrechner.

Ein Stück Geschichte: Horusauge, Stammbrüche und der Bruchstrich

Die Ägypter rechneten vor 4.000 Jahren nur mit Stammbrüchen, Brüchen mit Zähler 1, und zerlegten jeden anderen Bruch in eine Summe davon, 2/3 war die einzige Ausnahme; 3/4 schrieben sie als 1/2 + 1/4, und der Papyrus Rhind enthält eine Tabelle, die 2/n für alle ungeraden n bis 101 in Stammbrüche zerlegt. Die Teile des Horusauges standen für 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 und 1/64 beim Messen von Getreide. Die Babylonier rechneten im Sechzigersystem mit Sexagesimalbrüchen, die bis heute in Minuten und Sekunden stecken, 1/60 und 1/3600. Den Bruchstrich führten indische Mathematiker um 600 n. Chr. ein, Zähler über Nenner ohne Strich, und die Araber setzten den Strich dazwischen, al-Hassar im 12. Jahrhundert; Fibonacci brachte beides 1202 mit dem "Liber Abaci" nach Europa, schrieb Brüche aber links von der ganzen Zahl. Das Wort Bruch ist die Übersetzung von lateinisch fractio, Bruchstück, Adam Ries lehrte 1522 das Rechnen mit "gebrochenen Zahlen", und die Dezimalbrüche, die die Bruchrechnung im Alltag verdrängten, führte Simon Stevin 1585 ein, mit dem Argument, dass man dann wie mit ganzen Zahlen rechnen könne; der Dezimalpunkt kam 1617 mit Napier. Die Schule hält an den Brüchen fest, weil 1/3 als Dezimalzahl nie aufgeht und weil Algebra ohne Bruchrechnung nicht funktioniert. Der Rechner kürzt mit dem Algorithmus, den Euklid um 300 v. Chr. für genau diesen Zweck aufschrieb.

Praktische Tipps

Suchen Sie beim Addieren das kleinste gemeinsame Vielfache, nicht das Produkt der Nenner, dann bleibt weniger zu kürzen. Kürzen Sie beim Multiplizieren über Kreuz, bevor Sie ausmultiplizieren. Verwandeln Sie gemischte Zahlen vor dem Rechnen in unechte Brüche. Merken Sie sich die Dezimalwerte von Halben bis Zehnteln auswendig. Schreiben Sie das Minus in den Zähler, nie in den Nenner. Prüfen Sie Ergebnisse durch Überschlag, 3/4 + 5/6 muss etwas über 1,5 sein. Und nutzen Sie den Rechner zur Kontrolle, den Rechenweg verlangt die Klausur. Für Wurzeln aus Brüchen, Wurzel aus 1/4 ist 1/2, gibt es den Wurzelrechner.